Видим, что в левой части равенства сначала находят интеграл, а затем математическое ожидание; в правой части — наоборот.
Пример 1. Зная математическое ожидание /пж(/) = 2/+1 случайной функции X (/), найти математическое ожидание интеграла t y(0=Jx(s)*. о Решение. Искомое математическое ожидание t i ту (0= ^ mx(s)ds— J (2s+l)ds= /2 + /. О о Теорема 2. Корреляционная функция интеграла от случайной функции X (0 равна двойному интегралу от ее корреляционной функции: Если Г (f)=$ X(s)ds, То Ky(h, ^t)== J J Кх ($i» sa)dstdst. о о Доказательство. По определению корреляционной функции, Kv(t» /,) = М[^(/1) * (/,)]. Центрированная случайная функция < i У (0 = у (о—<0 = S х (s>ds—5 Л*ж (5><is = О о t [X (s)—mx(s)]ds, Или УЧ0 = $X(s)ds. (*) о Поскольку под знаком определенного интеграла переменную интегрирования можно обозначать любой буквой, обозначим переменную интегрирования в одном интеграле через Sl а в другом—через st (чтобы отличить переменные интегрирования и пределы интегрирования): <*,) = 5 к (Sl) dslt Y «,) =» S X (s.) dsa. О 0 Следовательно, if i| tf ^(tJY (t,) = J X (sj dst S X (st) ds, = S S X (sx) X («,) dst dst. a о oo Приравняем математические ожидания обеих частей равенства: Изменив порядок операций нахождения математического ожидания и интегрирования, окончательно получим I, Ку (tlt *.) *= S S Кх (Si. st) dst dsa. (**) О 0 Пример 2. Зная корреляционную функцию Кх *») = 4*1*2 ■+ -J- 9/*/* случайной функции X (/)> найти корреляционную функцию интеграла У (t) = ^ X (s) ds. О Решение. Используя формулу (**), найдем f 1 Ky(tu /2)= J J (4s!s2 + 9s?sl) dsldsi. о о Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функцию: Ky(tu t2) — t]t\ (1 +V*)- Теорема 3. Взаимная корреляционная cf/ункция случай- -I ной функции X (/) и интеграла Y (0 = § X (s) ds равна о интегралу от корреляционной функции случайной функции X (t): T. а) Rxvih, s)ds; О t. б) RyAti, #,) = t2)ds.
|
