Итак, искомая взаимная корреляционная функция

Rxy(ti> =

Свойства взаимной корреляционной функции

Свойство 1. При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется:

Rxу (^l> ⁼⁼ Ryx (^а* ^l)-

Свойство 2. Прибавление к случайным функциям X(t) и Y (t) неслучайных слагаемых, соответственно q> (t) и (t), не изменяет их взаимной корреляционной функции^-.

Если

хло-хщ + чУ) И

То

Rx_>yi(tu tt) ⁼ RxyWlt

Свойство 3. При умножении случайных функций X (f) и У (t) на неслучайные множители, соответственно ср (О и ij) (О. взаимная корреляционная функция умно­жается на произведение ф Ч* (^а)^:

Если

X_t(t) = X(t)v (О и К₁(/) = 1'(0Ч>(0.

То

*.) = Я*»(<1. <а) Ф (^i)“4F <<■)-

Свойство 4. Абсолютная величина взаимной корре­ляционной функции двух случайных функций не превы­шает среднего геометрического их дисперсий:

\RxyVx,

Доказательства этих свойств аналогичны доказатель­ствам свойств корреляционной функции.

Нормированная взаимная корреляционная функция

Наряду с взаимной корреляционной функцией для оценки степени зависимости сечений двух случайных функций пользуются характеристикой — нормированной взаимной корреляционной функцией.

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (I) и У (<) называют неслучай­ную функцию двух независимых аргументов и t_z:

,4 RxyVi. *i) R_xy (t\, U)

" Vk_x (t_u h) VKy (f„ *,) VО_х«г) O_y(t₂) '

Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те же свойства, что и взаимная корреляционная функция (см. § 13), причем свойство 4 заменяется сле­дующим свойством: абсолютная величина нормированной взаимной корреляционной функции не превышает единицы:

|р*„(<!, <■) |<1.

Пример. Найти нормированную взаимную корреляционную функ­цию двух случайных функций X(t) = t(J и Y (t)*=(²U, где U —слу­чайная величина, причем D(U) = 3.

Решение. Ранее при решении примера (см. § 12), в котором заданы те же функции, что и в настоящем примере, были найдены функции:

Я*„(/ь '2) = 3/_х;1, k(t) = t(U-m_u), Y (t) = t² (U — т_и).

к At и K_v(*i, *₂)=3/?/*

и нормированную функцию:

_п „ **у(ЬАш) З/t/I

^{М и} УкЖй) VKAtTtd " Кз/^Ki^I '

Итак, искомая нормированная взаимная корреляционная функция Р ху (^1» ^2)⁼⁼⁼ 1 •

Заметим, что функция Y (/) связана с X (/) линейной функци­ональной зависимостью:

У (/) = /²1/ =/ (tU) = tX (/).

§ 15. Характеристики суммы случайных функций

Пусть X (/) и К(/)—случайные функции. Найдем характеристики суммы этих функций по известным ха­рактеристикам слагаемых.

Теорема 1. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожи­даний слагаемых: если

Z(t) = X(t)+Y(t),

То

m_z(t)~m_x (О + ю, (<).

Эта теорема уже была приведена ранее (см. § 5, свой­ство 3); здесь она помещена для систематизации изло­жения. Методом математической индукции теорему можно обобщить на п слагаемых.

Следствие. Математическое ожидание суммы слу­чайной функции X (t) и случайной величины Y равно сумме их математических ожиданий; если

г (о = Х(<)+к,

То

m_e(t) = m_x (/)+m„.

Замечание 1. Центрированная функция суммы случайных функций равна сумме центрированных слагаемых: если

То

2(/)=л-(/)+^(/).