Получим. Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции.

К_х (/, /) = М [* (t) X (t)] = M [Л (/)!• =/5, (/).

Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции.

Пример. Задана случайная функция X(t) = Ut, где U — случай­ная величина, причем М (U)— 4, D (U)— 10. Найтн: а) корреляцион­ную функцию; б) дисперсию заданной случайной функции. Решение, а) Найдем математическое ожидание:

m_x(t) = MlX(t)] = M (Ut) = tM (t/) = 4/.

Найдем центрированную функцию:

k(t) = X (t)—т_х (О = Ut—4t = (U~4) t.

Отсюда

% — — 4) ti, *{t₂) = (U-4)t₂.

Найдем корреляционную функцию:

К_х (/_ь t_a) — M [Л (<!) к (/_г)1 = М l(U- 4) t_x (U -4) /_t] =

= t_xt, M [(U — 4)²J = t_xt ₄ D (U) = 1 Ottti.

Итак, искомая корреляционная функция

б) Найдем дисперсию, для чего положим t_l—t₂ — ti D_x(t) = K_x(t, /)*Ю it.

Итак, искомая дисперсия

О* (0=10/*.

Свойства корреляционной функции

Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симг метрии):

K_x(t_и *,)=*,(<„ О-

Доказательство. По определению корреляционной функции,

К At*. *i) = M [*(*,)*(**)].

Правые части этих равенств равны (математическое ожи­дание произведения не зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак,

*«(*!. *.) = *«(<■. к)-

Замечание 1. Прибавление к случайной функции X (О не­случайного слагаемого ф (0 не изменяет ее центрированной функции:

Если

У(0«Х<0+ф<0.

То

Действительно, математическое ожидание функции Y (t) m_v (t) = m_x (/) + ф(/).

Следовательно,

f (t)-Y (/)—Щу (0 = [Х(/) + Ф(01 —(«ж (0 + ф(01 =

= Х (О-"** <*) = *<')•

Итак,

Свойство 2. Прибавление к случайной функции X (О неслучайного слагаемого ф (/) не изменяет ее корреляцион­ной функции: если

К(0 = Х(0 + ф(0,

То

*„(*>. *_Ш)~КЛ*1, *.)•

Доказательство. В силу замечания 1 Y{t) = X{t).

Отсюда У (/_х) — k (tj и Y(t_t) = X(t_t). Следовательно,

= (*,)*</,)]■;

Итак,

K_v(*i’ *.)•

Замечание 2. При умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель m (/) ее центрированная функция умножается на этот же множитель: если

К(/)»Л(0Ф(0.

То

*(/)->* (О ф<0-

Действительно, математическое ожидание функции Y ( t ) ^туО) = М {X (0Ф(*)] = Ф(0 ^тх 01