Рассмотрим случайную функцию X (t). При фиксированном значении аргумента, например при t = tt, получим сечение—случайную величину X (tx) с математическим ожиданием М [X (ft)]. (Полагаем, что математическое ожидание любого сечения существует.) Таким образом, каждое фиксированное значение аргумента определяет сечение—случайную величину, а каждой случайной величине соответствует ее математическое ожидание. Отсюда следует, что каждому фиксированному значению аргумента t соответствует определенное математическое ожидание; это означает, что математическое ожидание случайной функции есть функция (неслучайная) от аргумента /; ее обозначают через mx(t). В частном случае функция тх ( t) может сохранять постоянное значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение математического ожидания.
Математическим ожиданием случайной функции X ( t) называют неслучайную функцию mx(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:
т*(0 = Л*[*(0].
Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые—реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).
