Равенство МарковаОбозначим через P,j(n) вероятность того, что в результате п шагов (испытаний) система перейдет из состояния i в состояние /. Например,.Р25(10)— вероятность перехода за 10 шагов из второго состояния в пятое. Подчеркнем, что при п = 1 получим переходные вероятности Я(7(1) = Р„. Поставим перед собой задачу: зиая переходные вероятности pij, найти вероятности Я,/(п) перехода системы из состояния i в состояние j за п шагов. С этой целью введем в рассмотрение промежуточное (между i и /) состояние г. Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния i за т шагов система перейдет в промежуточное состояние г с вероятностью Pir(m), после чего за оставшиеся п—т шагов из промежуточного состояния г она перейдет в конечное состояние / с вероятностью Рг)(п — т). По формуле полной вероятности, k Ри (п) = 2 Pir (т) prj (п—т). (*) Г — 1 Эту формулу называют равенством Маркова. Пояснение. Введем обозначения: А — интересующее нас событие (за п шагов система перейдет из начального состояния i в конечное состояние /), следовательно, Р (Л) = Pjj (n); Br (г — 1, 2,..., k )—гипотезы (за т шагов система перейдет из первоначального состояния i в промежуточное состояние г), следовательно, Р (Br) = Р1г(т)\ Рв (А) — условная вероятность наступления А при условии, что имела место гипотеза Вг (за п — т шагов система перейдет из промежуточного состояния г в конечное состояние /), следовательно, PBr(A) = Prj(n — т).
|
