Равенство Маркова

Обозначим через P,j(n) вероятность того, что в результате п шагов (испытаний) система перейдет из состояния i в состояние /. Например,.Р₂₅(10)— вероят­ность перехода за 10 шагов из второго состояния в пятое.

Подчеркнем, что при п = 1 получим переходные веро­ятности

Поставим перед собой задачу: зиая переходные веро­ятности pij, найти вероятности Я,/(п) перехода системы из состояния i в состояние j за п шагов. С этой целью введем в рассмотрение промежуточное (между i и /) состояние г. Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния i за т шагов система перей­дет в промежуточное состояние г с вероятностью P_ir(m), после чего за оставшиеся п—т шагов из промежуточного состояния г она перейдет в конечное состояние / с веро­ятностью Р_г)(п — т).

По формуле полной вероятности,

k

Р_и (п) = 2 Pir (т) ^prj (п—т). (*)

Г — 1

Эту формулу называют равенством Маркова.

Пояснение. Введем обозначения: А — интересую­щее нас событие (за п шагов система перейдет из началь­ного состояния i в конечное состояние /), следовательно, Р (Л) = Pjj (n); B_r (г — 1, 2,..., k )—гипотезы (за т шагов система перейдет из первоначального состояния i в про­межуточное состояние г), следовательно, Р (B_r) = Р_1г(т)\

Р_в (А) — условная вероятность наступления А при усло­вии, что имела место гипотеза В_г (за п — т шагов система перейдет из промежуточного состояния г в конечное состояние /), следовательно, P_Br(A) = P_rj(n — т).