Корреляционная теория случайных функций

Как известно, при фиксированном значении ар­гумента случайная функция является случайной величи­ной. Для задания этой величины достаточно задать закон ее распределения, в частности одномерную плотность вероятности. Например, случайную величину X₁ — X(t_l) можно задать плотностью вероятности f (xj; в теории случайных функций ее обозначают через (x_t\ /_х); здесь индекс 1 при f указывает, что плотность вероятности одномерная, t _x—фиксированное значение аргумента t, х,—возможное значение случайной величины Х₁ = Х(<₁). Аналогично, через f_x (*₄; /₄), /, (jc₈; t_t) и т. д. обозначают одномерные плотности вероятности сечений X_t — X (t_t), Х_Л = X (t_t) и т. д. Одномерную плотность вероятности любого сечения обозначают через /, (х; t), подразумевая, что аргумент t принимает все допустимые значения. Например, если случайная функция X (t) распределена нормально с параметрами m_x(t) — 4, a_x(t) — 3, то

Хотя функция /, (х; t) полностью характеризует каж­дое отдельно взятое сечение, нельзя сказать, что она полностью описывает и саму случайную функцию. (Ис­ключением является случай, когда любой набор сечений образует систему независимых случайных величии.) Например, зная лишь одномерную функцию распределения сечения, невозможно выполнять над случайной функцией операции, требующие совместного рассмотрения совокуп­ности сечений.

В простейшем случае совместно рассматривают два сечения: Х_г~ X Ц_х) и X_t~X(t_a), т. е. изучают систему двух случайных величин (X_lt Х_г). Известно, что эту систему можно задать двумерным законом распределения, в частности двумерной плотностью вероятности / (х_и х_а). В теории случайных функций ее обозначают через **)'«здесь индекс 2 при f указывает, что плотность вероятности двумерная; и t_t — значения ар­гумента /; х_и х₂ —возможные значения случайных вели­чин, соответственно X₁ = X{t₁) и X_a~X{t_a).

Хотя двумерный закон распределения описывает слу­чайную функцию более полно, чем одномерный (по из­вестному двумерному можно найти одномерный закон), он не характеризует случайную функцию исчерпывающим образом (исключением являются случаи, когда случайная функция распределена нормально или представляет собой марковский случайный процесс).

Аналогично обстоит дело и при переходе к трехмер­ным, четырехмерным распределениям и т. д. Поскольку такой способ изучения случайных функций является, вообще говоря, громоздким, часто идут по другому пути, не требующему знания многомерных законов распределе­ния, а именно изучают моменты, причем ограничиваются моментами первых двух порядков.

Корреляционной теорией случайных функций называют теорию, основанную на изучении моментов первого и второго порядка. Эта теория оказывается достаточной для решения многих задач практики.

В отличие от случайных величин, для которых моменты являются числами и поэтому их называют числовыми характеристиками, моменты случайной функции явля­ются неслучайными функциями (их называют характеристиками случайной функции).

Ниже рассматриваются следующие характеристики случайной функции: математическое ожидание (начальный момент первого порядка), дисперсия (центральный момент второго порядка), корреляционная функция (корреля­ционный момент).