Действ ите льно,

Й(/) = Х(0 + К(0-

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух кор­релированных случайных функций равна сумме корреля­ционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды (с разным по­рядком следования аргументов): если

Z(t) = X(t)±Y(t),

То

К Ah. h) = KAh> t₂)+K_y(t_lt h) + R_xv(h, h) + R_x„(h, h)-

Доказательство. По определению корреляцион­ной функции,

КAh, /,) = Af [2(^)2 (/,)].

В силу замечания 1

4 (0=*(0+?(<)•

Следовательно,

(h) 4 (*.)=t* (<i)+у т [х (/,)+? (<,)].

Выполнив умножение, приравняем математические ожи­дания обеих частей равенства:

М [Z (h) Z (/,)] = М [X (/,) X (/,)] + м [К (/О К (/,)] +

+ Л1 [X (h) У (<,)} + М [Г (<_t) X (<,)].

По определению корреляционной и взаимной корреля­ционной функций имеем

К At г, t₂) = K_x(h. h) + KAh. t₂) + R_xy(t_lt tj + R_ttX(t _lt t₂).

Ство 1), окончательно получим

К Ah, h)=K_x(h> t₂)+K_v(t „ t₂)+R_xy(h, tJ+R^V,, h)- (*)

Если

Z(f)=Sx,<0,

(=1

То

K_a{t_ltt_t)= 2 к_хМи *,) + S *,),

(=1 ‘ i¥*/ ¹ ‘

Следствие 1. Корреляционная функция суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме кор­реляционных функций слагаемых: если

Z(0 = X(0+F(0.

То

K_e(t_v *,)=-**(<X, *,) + *„<<», *,).

КАК, <,)=**(<i, *■)+*„(/,. *•>■;

0«<О-0*<О+0„(О.

Итак, дисперсия суммы двух некоррелирован­ных случайных функций равиа сумме дисперсий слагаемых.

Следствие 2. Корреляционная функция случайной функции X (t) и некоррелированной с ней случайной вели­чины Y равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины: если

Z(t) = X(t) + Y,

То

KzVit t_i)=K_x(t₁, t»)4-D_v.