Производная случайной функции и ее характеристики
При изучении случайных величин встречалось понятие сходимости по вероятности. Для изучения случайных функций необходимо ввести среднеквадратичную сходимость. Говорят, что последовательность случайных величин Xt, Х2, ..., Х„,. .. сходится в среднеквадратичном к случайной величине X, если математическое ожидание квадрата разности Хп — X стремится к нулю при п —►оо: М[(Хп-ХУ} = 0. Случайную величину X называют пределом в среднеквадратичном последовательности случайных величин Xlf Х3 ,..., Х„, ... и пишут X = l.i.m.X,,. Заметим, что из среднеквадратичной сходимости следует сходимость по вероятности; обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Случайную функцию X (0 называют дифференцируемой, если существует такая функция X’ ( t ) (ее называют производной), что lim м\Х<* + Ар-Х (/) — X' (018 = О- д/-*о I J Итак, производной случайной функции X (0 называют среднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Д/ при Д/—*-0: Х'(0 = ы.ш. ху+ч-тхж. Д<-*0 m Пусть известны характеристики случайной функции. Как найти характеристики ее производной? Ответ на этот вопрос дают теоремы, приведенные ниже, причем рассматриваются только среднеквадратично дифференцируемые случайные функции. Теорема 1. Математическое ожидание производной X’(t) = x от случайной функции X(t) равно производной от ее математического ожидания: mk (t) — mx(t).
|
