Розв`язок типових задач

Задача 1. Визначимо середній, модальний і медіанний вік студентів за даними вищенаведеної таблиці про розподіл студентів-заочників однієї групи (табл.1).

Розв`язок задачі. Для розрахунку зазначених характеристик центру розподілу побудуємо табл.2.

Таблиця 2.

Розподіл студентів за віком

Групи студентів за віком, років (x)	Кількість студентів, осіб (fj)	Кумулятивні частоти, осіб ()	Середини інтервалів вікових груп, років (xj)
До 20			17,5
20-25			22,5
25-30			27,5
30 і старші			32,5
Разом		Х	Х

 

Перший інтервал (відкритий) умовно прирівнюємо по ширині до другого (закритого), а останній (відкритий) - до передостаннього (закритого). Так, якщо ширина другого інтервалу 5 років (20-25), то будемо вважати, що ширина першого інтервалу буде також 5 років (15-20), відповідно його середина – 17,5.

Середнє значення віку визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:

=22,5 (роки).

Серед студентів найбільш вагомою віковою групою є 20-25 років, представників цієї групи 10 осіб. Отже, модальний інтервал визначено. За формулою розрахуємо значення моди в межах цього інтервалу:

Mo = .

Нижня межа визначеного модального інтервалу x₀ =20, його ширина h =5, частота модального інтервалу f_Mo =10, частота передмодального інтервалу f_Mo-1 =8, частота післямодального інтервалу f_Mo+1 =4.

Таким чином, мода дорівнюватиме:

Mo = = = 21,3 (роки).

Отже, в групі найчастіше зустрічаються студенти саме з таким віком.

Для визначення медіани спочатку з`ясуємо, якою є половина обсягу сукупності. В нашому випадку =12. Таким чином, перша кумулятивна частота, що перевищує половину обсягу сукупності, становить =18. Ця накопичена частота знаходиться в другому інтервалі – 20-25 років. В межах визначеного медіанного інтервалу визначимо значення медіани:

Me = .

Нижня межа медіанного інтервалу x₀ =20, його ширина h =5. Частота медіанного інтервалу = 10, кумулятивна частота передмедіанного інтервалу =8. Таким чином,

Me = =22 (роки).

Отже, половина студентів групи мають вік до 22 років, а інша половина – більше 22 років.

Задача 2. Використовуючи дані попередньої задачі, зробимо висновки щодо однорідності досліджуваної сукупності.

Розв`язок задачі.

Для цього побудуємо табл.3.

Таблиця 3.

Розрахунок показників варіації віку студентів

Вікові групи студентів, років	Кількість студентів, осіб (fj)	Середини інтервалів вікових груп, років (xj)
До 20		17,5
20-25		22,5
25-30		27,5
30 і старші		32,5
Разом		Х

Використовуючи визначене в попередній задачі значення р., останню графу таблиці 3 будемо заповнювати таким чином. В першому інтервалі (до 20 років):

= 200 і т.д.

Для висновку щодо однорідності досліджуваної сукупності визначимо квадратичний коефіцієнт варіації: .

Середнє квадратичне відхилення для згрупованих даних розрахуємо за відповідною формулою: .

Отже, використовуючи дані табл.3:

= 4,6 (р.)

Отже, значення віку студентів групи відрізняються від середнього значення ( =22,5 р.) в середньому на 4,6 р.

Квадратичний коефіцієнт варіації становитиме: =20,4%, що свідчить про однорідність досліджуваної сукупності.