Введение 5 страница

= 4,8кН·м, = 4,8кН·м,

= 4,8кН·м.

Изгибающий момент m:

Участок ВС:

= 4кН·м,

Участок С D:

= 4кН·м.

 

Распределенная нагрузка q:

 

Участок ВС:

Участок С D:

 

Рис. 6.10. Эпюра изгибающих моментов от действия силы F.

Рис. 6.11. Эпюра изгибающих моментов от действия

изгибающего момента m.

Рис. 6.12. Эпюра изгибающих моментов от действия равномерно распределенной нагрузки q.

 

Просуммируем изгибающие моменты от всех видов нагрузки.

Рис. 6.13. Суммарная эпюра изгибающих моментов от действия всех видов нагрузки.

 

Построим эпюру крутящих моментов.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок С D:

Рис. 6.14. Эпюра крутящих моментов.

 

Установим вид сопротивления для каждого участка системы, который определяется по эпюрам.

На участке АВ действует поперечная сила Qx и изгибающий момент My (поперечный изгиб).

На участке ВС действует поперечная сила Qx, Qy, крутящий момент Т и изгибающие моменты Mx и My (косой изгиб с кручением).

На участке СD действует поперечная сила Qx, крутящий момент Т, изгибающие моменты Mx, My и продольная сила N (косой изгиб с кручением и сжатием).

Определим максимальные напряжения в опасном сечeнии каждого участка от внутренних усилий Mx,My,T,N (касательными напряжениями от поперечных сил Qx и Qy можно пренебречь).

Участок АВ:

Опасная точка В. Qx =6кН,My =4,8кН· м.

Участок ВС:

Опасная точка С. Qy = 6кН, Qx = 6,1кН, Mx =8,8кН·м, My=2,56кН ·м, Т=4,8кН ·м.

Определим суммарный изгибающий момент:

При кручении круглого стержня возникают касательные напряжения:

Участок С D:

Опасная точка D. Qx=6,4кН, Mx=8,8кН· м, My=9,92кН· м, N=6кН, Т=2,56кН· м.

Проверим прочность системы при расчетном сопротивлении R =210Мпа.

Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется по формуле:

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок С D:

Прочность стержней системы на всех участках обеспечена.

 

 

7. УСТОЙЧИВОСТЬ.

Задача 7.1.

Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;

2) определить значение коэффициента запаса устойчивости.

 

F=210кН;

l=1,7 м;

µ=1.
Рис.7.1. Схема стержня и его поперечное сечение.

Решение.

Размеры поперечного сечения определим исходя из условий устойчивости:

где - коэффициент снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе.

В расчетной формуле имеются две неизвестные величины – коэффициент и искомая площадь А. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

Выразим геометрические характеристики через величину а.

Так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, определяем минимальный момент инерции:

тогда площадь поперечного сечения:

Приближение 1. В первом приближении коэффициент изгиба принимают тогда

Расчетная гибкость стержня:

По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента соответствующего гибкости :

Путем линейной интерполяции получим:

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

,

.

Перенапряжение составляет , что недопустимо. Необходимо уточнение размеров.

Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух:

тогда площадь сечения

радиус инерции

Определим гибкость стержня

Коэффициент рассчитываем для гибкости :

Проверим выполнение условий устойчивости:

Перенапряжение составляет: что недопустимо.

Приближение 3.

Определим коэффициент продольного изгиба:

Площадь поперечного сечения

радиус инерции

гибкость колонны

Определим значение коэффициента :

Расчетное сопротивление

Недонапряжение составляет , что допустимо.

Окончательно принимаем размеры сечения 44х66мм ()

Находим величину критической силы.

Так как , т.е.126,7>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

Определим коэффициенты запаса устойчивости:

 

Задача 7.2

 

Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа.

Требуется:

1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;

2) определить значение коэффициента запаса устойчивости;

F=250 кН;

l=1,4 м;

µ=2.
Рис.7.2 Схема стержня.

 

Решение.

Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости:

.

Для расчета используем метод последовательных приближений.

Приближение 1.

В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба , тогда

Площадь одного уголка составит:

Из сортамента прокатной стали (Приложение 3) выбираем уголок 100х100х6,5 с площадью А уг= 12,8см.

Определим радиусы инерции данного сечения относительно главных центральных осей х и у, которые являются осями симметрии сечения.

(находим в сортаменте, Приложение 3).

(находим в сортаменте, Приложение 3),

( находим в сортаменте),

Сравнивая и ,определяем, что минимальным радиусом инерции является .

Определим гибкость колонны:

По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента , соответствующего гибкости :

при

Путем линейной интерполяции получим:

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

Перенапряжение составляет , что недопустимо.

Необходимо увеличить поперечное сечение.

. Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух.

; тогда площадь сечения

В сортаменте выбираем уголок 110х110х7

Определяем гибкость стержня:

Из таблицы для выберем значение :

Проверим выполнение условий устойчивости:

Недонапряжение составит: , что для прокатного профиля приемлемо.

Окончательно принимаем сечение в виде двух уголков 110х110х7.

Находим величину критической силы. Так как , т.е. 127,9>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

Тогда коэффициент запаса устойчивости будет равен:

 

8. ДИНАМИКА.

Задача 8.1.

 

На упругую систему падает груз с высоты h. Материал стержней – сталь. Расчетное сопротивление при статической нагрузке R=210МПа, Е=200ГПа.

Требуется:

1) определить величины максимальных динамических напряжений в элементах системы;

2) определить величину динамического перемещения точки приложения груза.

Массу конструкции не учитывать.

 

 

G=400H,

в=0,4м,

d=4см,

а=1,4м,

двутавр №18,

h=5см.

Рис.8.1. Схема стержневой системы.

 

Решение.

Рассчитаем стержневую систему на статическую нагрузку Предварительно определим усилие в стержне.

Рис.8.2 Схема элемента 1.

Составим уравнение равновесия

Рассчитаем опорные реакции в балке ВС:

Рис.8.3 Схема балки.

Построим эпюру изгибающих моментов в балке ВС:

 

Рис.8.4. Эпюра изгибающих моментов и единичная эпюра.

Определим прогиб в точке D от статического действия нагрузки методом сил. Для этого приложим в точке D единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов от этой силы.

Выпишем из сортамента значение момента инерции для двутавра №18:

Прогиб от статистической нагрузки составит:

. Определим напряжение от статической нагрузки:

(выпишем из сортамента, Приложение 1).

Определим динамический коэффициент, динамическое перемещение и напряжение:

Проведем проверку стержня на прочность при действии динамической нагрузки:

 

 

Литература

 

1. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Алек­сандров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высш. школа, 1995.

2. Балыкин, М.К. Сопротивление материалов: сборник заданий для расчетно-проектировочных работ для строительных специальностей / М.К. Балыкин [и др.]. – Минск: БНТУ, 2003.

3. Винокуров, Е.Ф. Сопротивление материалов: расчетно-проект­ировочные работы / Е.Ф. Винокуров, А.Г. Петрович, Л.И. Шевчук. – Минск: Вышэйшая школа, 1987.

4. Заяц, В.Н. Сопротивление материалов / В.Н. Заяц, М.К. Ба­лы­кин, И.А. Голубев. – Минск: БГПА, 1998.

5. Петрович, А.Г. Сборник задач расчетно-проектировочных работ по курсу «Сопротивление материалов»: в 2 ч. / А.Г. Петрович [и др.]. – Минск: БПИ, 1979. – Ч. 1.

6. Петрович, А.Г. Сборник задач расчетно-проектировочных работ по курсу «Сопротивление материалов»: в 2 ч. / А.Г. Петрович
[и др.]. – Минск: БПИ, 1981. – Ч. 2.

7. Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко [и др.]. – Киев: Вища школа, 1986.

8. Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов
[и др.]. – М.: Высш. школа, 1975.

9. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Фео­досьев. – М.: Наука, 1986.

5. Балыкин, М.К. Сопротивление материалов: лабораторный практикум / М.К. Балыкин [и др.]. – Минск: БГПА, 1999.

10. Нагрузка и воздействие: СНиП 2.01.07-85. – Госстрой СССР, 1985.

 

Приложения

Приложение 1

Сталь горячекатаная. Балки двутавровые (по ГОСТ 8239-89*)

I – момент инерции

W – момент сопротивления

S – статический момент площади полусечения

i – радиус инерции

 

 

Таблица П1.1

 

Номер профиля	Размеры, мм	Площадь сечения А, см2	Линейная плотность ρ, кг/м	Геометрические характеристики относительно осей
				x	y
h	b	d	t	Iх, см4	Wx, см3	ix,см	Sx, см3	Iy, см4	Wy, см3	iy,см
			4,5	7,2	12,0	9,46		39,7	4,06		17,9	6,49	1,22
			4,8	7,3	14,7	11,5		58,4	4,88	33,7	27,9	8,72	1,38
			4,9	7,5	17,4	13,7		81,7	5,73	46,8	41,9	11,5	1,55
				7,8	20,2	15,9			6,57	62,3	58,6	14,5	1,7
			5,1	8,1	23,4	18,4			7,42	81,4	82,6	18,4	1,88
			5,2	8,4	26,8				8,28			23,1	2,07
			5,4	8,7	30,6				9,13			28,6	2,27
			5,6	9,5	34,8	27,3			9,97			34,5	2,37
				9,8	40,2	31,5			11,2			41,5	2,54
			6,5	10,2	46,5	36,5			12,3			49,9	2,69
				11,2	53,8	42,2			13,5			59,9	2,79
			7,5	12,3	61,9	48,6			14,7			71,1	2,89
			8,3		72,6				16,2				3,03
				14,2	84,7	66,5			18,1				3,09
				15,2		78,5			19,9				3,23
				16,5		92,6			21,8				3,39
				17,8					23,6				3,54

 

Приложение 2

Сталь горячекатаная. Швеллерная (по ГОСТ 8240-89)

I – момент инерции