Статический момент

инерции двутавра относительно вспомогательной оси х,;

статический момент инер-

ции швеллера относительно вспомогательной оси х_{.

Для координаты у_с центра масс сечения имеем

66 Глава 1. Сопротивление материалов

Тогда в принятых на рис. 1.4.8 обозначениях получаем:

Теперь с помощью теоремы об изменении момента инерции при параллельном переносе осей определяем моменты инерции швеллера и двутавра относительно

центральных осей сечения (рис. 1.4.8):

На рис. 1.4.9 представлены результаты расчета заданного сечения, полученные, аналогично предыдущей задаче, с помощью программного модуля АРМ Beam. Соз­дание сечения в АРМ Beam происходит следующим образом: вначале средствами графического редактора АРМ Graph изображается профиль сечения (при этом стан-

дартные составляющие сечения импортируются из встроенной в редактор АРМ Graph базы данных стандартных элементов), а затем файл с изображенным сечением сохраняется с расширением dxf. Сохраненный таким образом файл в дальнейшем можно импортировать во встроенный в программу АРМ Beam редактор сечений.

1.5. РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Задача 1. Найти критическую силу при указанных на рис. 1.5.1 условиях за-

крепления стержня длиной / = 2 м, если Е = 2 • 10⁵ Н/мм².

Решение

Под устойчивостью понимается свойство механической системы сохранять свое состояние при внешних воздействиях. Находясь в состоянии устойчивости, механическая система при приложении любого сколь угодно малого внешнего воз­действия возвращается в исходное положение после снятия этого воздействия. Зна­чение внешней силы, при которой система переходит из устойчивого в неустойчи­вое состояние, называется критической силой.

Для того чтобы найти значение критической силы необходимо рассмотреть

равновесие механической системы, в данном случае — сжатого двухопорного стержня, нагруженного осевой силой F.

Прежде всего отбросим одну из опор и заменим ее действие реакцией (рис. 1.5.2). Дифференциальное уравнение изгиба стержня, справедливое при малых про­гибах, имеет следующий вид (2.9.1):

где J_min — минимальный осевой момент инерции (2.3.4); М = —Fy + Rz — изги­бающий момент в сечении с координатой z.

68 Глава 1. Сопротивление материалов

Уравнение изгиба стержня можно представить в форме

 

Общее решение этого уравнения, как известно, следует искать в виде

 

Постоянные интегрирования d и С₂ можно найти, используя граничные условия:

 

Из первого граничного условия находим С|=Ю. Второе граничное условие экви­валентно однородной системе линейных алгебраических уравнений с двумя неиз­вестными, С₂ и R,

 

Эта система будет иметь ненулевое решение при нулевом определителе:

 

Раскрывая определитель, получим трансцендетное уравнение имеющее бесконечное множество решений. Решая это уравнение графически, най­дем его первый корень:

 

Тогда

Для заданного сечения

 

1.5. Устойчивость сжатых стержней 69

Возможности программы АРМ Structure3D позволяют рассчитать систему на ус­тойчивость и в качестве результата получить коэффициент запаса устойчивости при заданном загружении.

Необходимо заметить, что создание стержневой модели в АРМ Structure3D име­ет одну особенность. Для получения верного результата стержень следует разбить как минимум на два участка, т. е. создать хотя бы один дополнительный узел. Это связано с необходимостью обеспечения достаточного числа степеней свободы в месте максимального прогиба балки (при расчете подобных конструкций методом конечных элементов необходимо наличие узлов, которые могли бы свободно пере­мещаться, [4]).

Окно с результатами расчета стержня, нагруженного силой F = 1 кН, показано на рис. 1.5.3. Для того чтобы получить значение критической силы, нужно умно­жить величину нагрузки на коэффициент запаса устойчивости:

Задача 2. Рассчитать на устойчивость стержень, изображенный на рис. 1.5.4, если F = 200 кН; =3 м; = 210⁵МПа; =101 мм; =160 МПа.