Свойства. · Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

 

· Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях)

Если , то

 

· Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:

перестановку уравнений;

умножение уравнения на ненулевую константу;

сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.

Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:

 

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях).

Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей

 

· Нахождение обратных матриц

Теорема (о нахождении обратной матрицы).

Пусть определитель матрицы не равен нулю, пусть матрица определяется выражением . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы к единичной матрице в составе одновременно происходит преобразование к

 

· Приведение матриц к ступенчатому виду

Введём понятие ступенчатых матриц:

 

Матрица имеет ступенчатый вид, если:

Все нулевые строки матрицы стоят последними;

Для любой ненулевой строки матрицы (пусть для определённости её номер равен ) справедливо следующее: если — первый ненулевой элемент строки , то .

 

Тогда справедливо следующее утверждение:

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).

Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

 

Эквивалентные матрицы

 

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

 

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

 

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

 

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

 

 

5.

Блочная (клеточная) матрица — вид квадратной матрицы, каждый элемент которой является квадратной подматрицей меньшей, кратной размерности.

 

Пример записи

Матрица размерностью 4×4

является блочной, состоящей из четырех подматриц-блоков размерностью 2×2

 

Если каждый блок будет определен как

то, блочная матрица может быть записана в следующем виде