Свойства обратной матрицы

, где обозначает определитель.

для любых двух обратимых матриц A и B.

где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента .

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

 

15.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

· ноль, если A — нулевая матрица;

· число , где Mr — минор матрицы A порядка r, а Mr + 1 — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существую

 

 

16.

Строчнопсевдотреугольная – если в каждой нулевой строке найдется хотябы один нулевой элемент, в столбце которого все нижележащие елементы (если они есть) = 0

 

Строчнопсевдодиагональная – если в каждой нулевой строке найдется хотябы один нулевой елемент, в столбце которого строго все елементы лежащие выше (если они есть) = 0

 

 

17.

Линейное пространство. Основные понятия

Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

 

паре элементов множества , отвечает элемент , называемый суммой и ;

 

паре , отвечает элемент , называемый произведением числа и элемента .

 

Будем называть множество линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо:

, сложение коммутативно;

, сложение ассоциативно;

существует единственный нулевой элемент такой, что , ;

для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что ,

, умножение на число ассоциативно;

; ,;

, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

 

Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства.

 

Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы – векторам

 

 

18.

РАЗМЕРНОСТЬ ЛИЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dimL = k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается L_k.

Векторы i и j — линейно независимая система векторов линейного пространства геометрических радиусов-векторов плоскости R₂.

 

Рассмотрим произвольную систему из трёх векторов x, y, z.

 

 

На рисунке показано, что вектор z линейно выражается через векторы x и y: z = α₁·x + α₂·y.

 

Итак, в пространстве R₂ существует система из двух линейно независимых векторов (i, j), а любые три вектора образуют линейно зависимую систему. То есть размерность пространства R₂ равна 2, dim R₂ = 2.

 

19.

Изоморфи́зм — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: Пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

 

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение в этом случае является изоморфизмом.

 

20.