Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

 

21.

СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ

Пусть L1..Lk – линейные подпространства пространства V. Суммой подпространств L1..Lk называется множество всевозможных векторов x, представимых в виде x = x1 + … + xk, где xi из Li для любых i от 1 до k. Обозначается как L1 + L2 +.. + Lk

Представление вектора в виде такой суммы называется разложением вектора x по подпространствам L1.. Lk

Пересечением подпространств L1..Lk называется множество, в котором содержаться только те вектора, которые содержатся в каждом из подпространств L1..Lk

Пересечение пустым не бывает, как минимум это нулевой вектор.

Теорема. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства V также является подпространством V.

Доказательство следует из определения подпространства.

Теорема. Сумма линейных подпространств есть линейная оболочка совокупности базисов слагаемых подпространств.

Доказательство – просто проверяем двустороннее вложение.

Следствие. Размерность суммы подпространств равна рангу мовокупности базисов слагаемых подпространств.

Теорема. Для любых двух подпространств выполняется равенство dim(L1+L2) = dimL1 + dim L2 – dim(L1^L2)

Доказательство.

Если пересечение ненулевое, то смотрим его базис – f1..fn – так как пересечение является подпространством каждого из исходных подпространств, этот базис можно дополнить до базиса каждого из подпространств. Дополним, получим два базиса. В каждом из них будет n векторов из базиса пересечения. А если дополнить до базиса совокупности сразу, получим n векторов из базиса пересечения и еще m и s дополняющих векторов до базиса первого и второго подпространства. То есть, m+s+n = m+n + s +n – s – верно, доказано.

 

22.

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.