Перестановки. Определитель матрицы n-го порядка.

Перестановкой множества из n элементов называется любой упорядоченный набор из всех элементов этого множества, среди которых нет одинаковых.

 

Любая транспозиция соседних элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

 

пределение определителя – го порядка.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка:

.

Определение. Произведение элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.

Обозначение: .

Здесь первый индекс обозначает номер строки, из которой взят элемент, второй индекс , он в свою очередь имеет нижний индекс , обозначает номер столбца, из которой взят элемент и набор вторых индексов образует перестановку множества .

Т.к. число всех перестановок множества равно , то существует ровно членов определителя.

Каждый член определителя снабдим знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности перестановки вторых индексов. Это можно сделать с помощью множителя , который равен 1, если перестановка четная и тогда число инверсий есть четное число и равен – 1, если перестановка нечетная и тогда число инверсий есть нечетное число.

Определение. Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Обозначение:

, (1)

где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.

Пример. Вычислим определитель 3 – го порядка:

.

Выпишем все члены определителя, их ровно 6 штук. Для этого, выпишем сначала все перестановки множества из 3 элементов:

, , , , , и определим их четность:

, , , , , .

Теперь выписываем члены определителя, причем первые индексы (номера строк) образуют начальную перестановку, а вторые индексы (номера столбцов) образуют перестановку, одну из 6 приведенных выше.

, , , , , .

Теперь мы можем записать определитель, как

алгебраическую сумму всех членов определителей, взятых со знаком плюс, если вторые индексы сомножителей, входящих в член определителя, образуют четную перестановку, и со знаком минус в противном случае:

.

Замечание. Формула (1) определяет отображение из множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем K в полеK. Это отображение называется определителем или детерминантом и обозначается

.
6. Ранг матрицы и способы его вычисления.
7. Определить понятие обратной матрицы и рассказать о способах ее
вычисления.
8. Рассказать о крамеровских системах линейных уравнений и способе
их решения.
9. Раскрыть суть метода Гаусса для решений линейных уравнений общего
вида.
10. Критерий совместности систем линейных уравнений (теорема Кронера-
Капелли).
11. Рассказать о системах однородных линейных уравнений и способе ее
решения. Фундаментальная система решений.
12. Дать определение и привести примеры линейного пространства.
13. Раскрыть понятие линейной зависимости строк и столбцов матрицы.
Ранг матрицы.
14. Определить понятия базиса и размерности линейного пространства.
15. Рассказать о координатах вектора в фиксированном базисе.
16. Раскрыть понятие изоморфизма линейного пространства.
17. Линейные подпространства.
18. Алгебраические операции и их свойства.
19. Алгебраические системы с одной операцией. Примеры.
20. Алгебраические системы с двумя операциями. Примеры.