Деление отрезка прямой на пропорциональные части

Деление отрезка AB на две части, находящиеся в отношении AC:CB= 2:3 (рисунок 20, a). Через точку A проводят под произвольным углом к заданному отрезку прямую AD. На этой прямой от точки A откладывают пять (2+3) равных отрезков произвольной длины. Точки B и V соединяют прямой линией. Через точку II проводят прямую, параллельную BV, до пересечения ее с отрезком AB в точке C. Точка C делит отрезок AB в отношении 2:3.

Если отношение задано не цифрами, а в отрезках m:n, то на вспомогательной прямой AD вместо отрезков произвольной длины откладывают отрезки m и n. Подобное построение учащемуся предлагается проделать самостоятельно, взяв размеры с рисунка 20, б.

Рисунок 20

Деление отрезка AB в среднем и крайнем отношении (рисунок 21). Отрезок AB делят в точке C пополам и через один из его концов, например точку B, проводят прямую BM, ему перпендикулярную (рисунок 21, а). От точки B на перпендикуляре откладывают отрезок BD = BC. Точки A и D соединяют прямой (рисунок 21, б). На отрезке AD получают точку E при помощи дуги радиуса DB с центром в точке D. Из точки A как из центра проводят дугу радиусом AE, которая пересечет отрезок AB в точке F. Точка F является точкой деления отрезка AB в среднем и крайнем отношении, так как .

Разобранную пропорцию часто называют «золотым сечением». Это название связано с тем, что в пропорциях человеческого тела, в формах животных, отличающихся изяществом, среди творений мастеров архитектуры и прикладного искусства – всюду встречаются пропорции, подчиненные закону о среднем и крайнем отношениях. Деление отрезка в среднем и крайнем отношениях позволяет подобрать наилучшие пропорции для одного предмета или выбрать соразмерность нескольких предметов.

Возьмем для примера прямоугольник с отношением сторон, равным построенной пропорции (рисунок 21, в), и сравним его с другим прямоугольником (рисунок 21, г), у которого эта пропорция нарушена. Нетрудно заметить, что пропорции первого прямоугольника более приятны для глаза. Простейшее применение пропорции «золотого сечения» можно наблюдать в форматах книг, альбомов, размерах открыток и т. д.

Рисунок 21