Задание №3. Расписать подробнее нахождение каждого элемента лепестковой последовательности.

Найдем лепестковую последовательность, соответствующую импульсно и абсолютно устойчивому графу. Для всех возможных знаков (положительный или отрицательный) импульсов, проходящих через циклы, имеем:

Чтобы система была импульсно устойчивой, обязательно выполнение следующих условий (см. в лабораторной работе №1 теорему 8):

Первое из них в нашем случае выполняется всегда. Второму условию соответствуют значения:

(1)

Первое и последнее уравнения верны. Тогда систему (1) можно привести к виду:

(2)

Проанализируем полученную систему. Так как в исследуемой системе , и вводить новую дугу для изменения этого состояния слишком сложное дело с точки зрения практического исполнения, то и должно быть равно 0. В этом случае решением системы (2) является набор значений:

или

 

Для абсолютной устойчивости графа должно выполняться еще одно условие (см. в л.р. №1 теорему 9):

Окончательное решение имеет вид:

или

Таким образом, потенциально стабилизирующими стратегиями являются:

1) Разрыв связей C–P, N–H и изменение знака любой дуги в оставшемся цикле.

2) Разрыв связи N–H, изменение знака одной из дуг (C,E), (E,H), (H,M), (M,P).

3) Разрыв связи N–H, изменение знака дуги (P,N).

Однако формальные методы синтеза структуры розы дают гарантию выполнения лишь необходимых условий абсолютной устойчивости. Проверим достаточность, используя теорему о собственных значениях.

Характеристический многочлен розы (рис. 4) после применения стратегии (1):

Нет собственных значений, по модулю превышающих 1 и равных 1. Следовательно, система с такой структурой абсолютно и импульсно устойчива.

После применения стратегии (2) имеем характеристический многочлен:

Его корни не превышают по модулю 1, и среди них нет равного 1.

В третьем случае характеристический многочлен равен:

Он также не имеет недопустимых корней.