Теорема 2.3

Произведение ограниченной функции и функции, бесконечно малой в точке a, является бесконечно малой в точке a функцией.

Доказательство:
Пусть f (x) - ограниченная функция, то есть $ А > 0, " x Î{область определения f(x) }: | f(x) | < A, и пусть g (x) - бесконечно малая в точке a.

Тогда " e > 0 $ d > 0: " x Î {0 < | x - a | < d }: | g (x) | < .

Следовательно, " x Î {0 < | x - a | < d }: | f (x) g (x) | = × < e. Это и означает по определению, что f (x) g (x)- бесконечно малая в точке а функция.

Теорема доказана.

Следствие. Произведение конечного числа ограниченных функций, из которых хотя бы одна - бесконечно малая в точке а, является бесконечно малой функцией в точке а.

 

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Пусть f (x) и g (x)- бесконечно малые в точке а, то есть f (x) = 0, g (x) = 0.

Тогда называют неопределенностью типа .

Если = 0, то говорят что f (x) является бесконечно малой более высокого порядка в точке а, чем g (x), и пишут: f = 0(g) при х ® а.

Примеры:
=0(x) при x ® 0,

=0(x) при x ® 0.

Эти два неравенства, как и вообще неравенства с символом 0-малое, верны только слева направо, так как символ 0(х) обозначает любую функцию, являющуюся бесконечно малой более высокого порядка, чем х, при x ® 0.

Если = b ¹ 0, то говорят, что f (x) и g (x) являются бесконечно малыми одного порядка в точке а, и пишут: f = O (g) и g = O (f) при x ® а.

 

Пример:

= O (2 + ), так как = = ¹ 0.

Если = 1, то f (x) и g (x) называются эквивалентными бесконечно малыми в точке а.

Обозначение: f ~ g при x ® 0.

 

Пример: ~ + при x ® 0.

 

Свойства символа "0 малое":

1) 0(g) ± 0(g) = 0(g).

2)Если f = 0(g), то 0(f) ± 0(g) = 0(g).

3) fg = 0(f), fg = 0(g).

4)Если f ~ g, то f - g = 0(f), f - g = 0(g).

5)Если с = const ¹ 0, то 0(cg) = 0(g), например,

0(5 ) = 0().

Докажем 2):

Для этого нужно доказать, что = 0.

= + = × + = × + ® 0,

а это и означает, что 0(f) ± 0(g) = 0(g),

что и требовалось доказать.

 

Докажем 4):

Для этого нужно доказать, что = 0.

= 1 - ® 0, при х ® а, а это и означает, что f - g = 0(f), при х ® а.

Пусть f (x) и g (x) - бесконечно большие функции при x ® а. Тогда называют неопределенностью типа .

Если = ¥, то говорят что при x ® а функция f (x) имеет более высокий порядок роста, чем g (x).

Пример:

f(x)= и g (x) = - бескончно большие при x ® 0. Так как = = ¥, то

имеет более высокий порядок ростоа, чем при x ® 0.

Если = b ¹ 0, то говорят что f (x) и g (x) имеют одинаковый порядок роста при x ® а.

Другие типы неопределённостей:

¥ - ¥: например, -ctgx при x ® 0;

0 × ¥: например, xctgx при x ® 0;

: например, при x ® 0;

: например, при x ® + 0;

: например ,при x ® +¥.

 

 

5 Свойства пределов функций.

 

Лемма 1:

Если f (x) = b, то f (x) можно представить в виде: f (x) = b + a(x), где a(x)- бесконечно малая в точке а.

Доказательство: Запишем функцию f (x) в виде f (x) = b + .

Остаётся доказать, что a(x) = f (x) - b - бесконечно малая в функция в точке a.

По определению предела функции, " e > 0 $ d > 0, " x Î {0 < | x - a | < d }: | f (x) - b | < e.

То есть | a(x) | < e. Это и означает по определению, что a(x) - бесконечно малая функция в

точке а.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2 (обратная лемме 1):

Если f(x) = b + a(x), где b -число, a(x)-бесконечно малая функция в точке а. то f (x) = 0.

Доказать самостоятельно.

Теорема 2.4

Пусть функции f (x) и g (x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и пусть f (x) = b, f (x) = c.

Тогда:

1) [ f (x) ± g (x)] = b ± c.

2) f (x) g (x) = bc.

3) Если с ¹ 0, то в некоторой проколотой окрестности точки а определена функция (то есть g (x) ¹ 0) и = .

Доказательство.

1.Докажем для суммы.

Согласно лемме 1, f (x) и g (x) можно представить в виде:

f (x) = b + a(x),

g (x) = c + b(x), где a(x) и b(x)- бесконечно малые функции в точке а.

f (x) + g (x) = (b + c) + [a(x) + b(x)].

Отсюда по лемме 2 следует, что [ f (x) + g (x)] = b + c.

Утверждение 1 для суммы доказано.

Докажем 3.

Пусть для определённости c > 0. Возьмём e = , тогда по определению предела функции

$ d > 0, " x Î {0 < | x - a | < d }: | g (x) - c | < e = ., или < .

Из пдчеркнутого неравенства следует что g (x) > > 0 в проколотой d- окрестности точки а. Тем самым определена функция . По лемме 1, f (x) = b + a(x), g (x) = c + b(x), где a(x) и b(x) -бесконечно малые в точке а. Поэтому - = - = (с a(x)- b b(x)).

Так как < в проколотой d- окрестности точки а и с a(x)- b b(x) бесконечно

малая в точке а, то - = g(х) - бесконечно малая в точке а.

Итак, = + g(х), где g(х) бесконечно малая функция в точке а.

Следовательно, по лемме 2, = .

Утверждение 3) доказано.

Утверждение 2) доказывается таким же образом.

Теорема доказана.

Теорема 2.4 верна также для пределов функций при х ® ¥.

Следствие 1.

c × f (x) = c × f (x), где с - число.

Следствие 2.

Пусть (x) и (х) - многочлены степени n и m. Функция f (x) = называется рациональной функцией. Утверждение: если (а) ¹ b, то = .

Доказательство:

Пусть (x) имеет вид: (x) = + +…+ , где ,…, - числа. Ранее было доказано, что x = а.

Отсюда в силу теоремы 2.4 следует:

(x) = a ⁿ +…+ = (а).

Аналогично, (х) = (а), и так как (а) ¹ 0, то = , что и требовалось доказать.

Теорема 2.5

Если f (x) ³ с (£ с), и f (x) = b, то b ³ c (£ c).

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда f (x) ³ c. Допустим, что b < c. Возьмём e столь малым, чтобы b + e < c. Согласно определению предела функции, в некоторой проколотой окрестности точки a все значения f (x) будут принадлежать (b - e, b + e), и, тем самым, будут < c, что противоречит условию f (x) ³ с. Полученное противоречие доказывает, что b ³ c.

Теорема доказана.

Замечание 1:

Теорема 2.5 верна также для предела функции при x ® ¥.

Замечание 2:

Из неравенства f(x) > с, не следует, что lim f(x) > с, а следует лишь, что lim f(x) ³ с.

Пример:

f(x) = > 0, " x > 0.

f(x) = 0.

Замечание 3:

Применяя теорему 2.5 к числовым последовательностям, приходим к следующему утверждению:

Если " n: a £ £ b (то есть Î [ a, b ]) и существует lim = c, то a £ c £ b.

Теорема 2.6 (о двух милиционерах).

Если f (x) £ g (x) £ h (x), и f (x) = h (x) = b, то g (x) = b.

Доказательство: зададим произвольное e > 0.

По определнию предела функции, $ d >0, " x Î {0 | x - a | < d}: | f(x) - b | < e, | h(x) - b | < e. (1)

Из условия теоремы следует, что f(x) - b £ g(x) - b £ h(x) - b, и поэтому, в силу неравенства (1) имеем:

| g (x) - b | < e " x Î {0 | x - a | < d}, а это и означает, что g (x) = b.

Теорема доказана.