Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентное определение

Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x = a (при x ® a), если f(x) = 0.

Эквивалентное определение:

f(x) называется бесконечно малой в точке a, если

" e > 0 $ d > 0, " x Î {0 < | x - a | < d }: | f (x) | < e.

Примеры:

1) f (x)=sin x бесконечно малая в точке x = 0, т.к. sin x = 0.

2) f (x)=sgn x не является бесконечно малой в точке x = 0, хотя f (0) = 0.

Аналогичным образом определяется бесконечно малая функция при x ® ¥ (+¥ или -¥).

Пример.

f (x) = - бесконечно малая при x ® ¥.

В частности, последовательность { } называется бесконечно малой, если lim = 0.

Функция f (x) называется бесконечно большой в точке x = a (при x ® a), если

" A > 0 $ d > 0, " x Î {0 < | x - a | < d }: | f (x) | > A.

Обозначение: f (x) = ¥.

Если при этом функция принимает положительные (отрицательные) значения, то будем писать:

f (x) = + ¥ (- ¥)

Пример:

f (x) = .

Докажем, что f (x) = ¥.

Зададим произвольное A > 0 и возьмём d = , тогда

" x Î {0 < | x | < d = }: | f(x) | = = > A,

это и означает, по определению, что f(x) = ¥.

(рисунок)

= + ¥.

= - ¥.

Задание:

Дать определения, выражаемые следующими символическими формулами:

f (x) = ¥, + ¥, - ¥.

f (x) = ¥, + ¥, - ¥.

Дома:

Доказать следующие утверждения:

1) Если f (x) - бесконечно большая функция в точке x = a, то в некоторой проколотой окрестности точки a определена функция g (x) = и она является бесконечно малой в точке x = a.

2) Если f (x) - бесконечно малая в точке х = a и в некоторой проколотой окрестности точки a f (x) ¹ 0, то g (x) = - бесконечно большая в точке x = a.

3) Если f (x) = c = const и f(x) - бесконечно малая в точке x = a, то c = 0.