Умножение

1)Пусть x > 0 и y > 0 - произвольные вещественные числа и пусть x_r и y_r- любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам: 0 < x_r £ x, 0 < y_r £ y.

Рассмотрим множество {x_r y_r}, где умножение производится по правилу для рациональных чисел. Оно ограниченно сверху и поэтому имеет точную верхнюю грань. По определению xy = { }

2) " x: x ×0 = 0× x = 0.

3) если x ¹ 0, y ¹ 0, то

xy =

 

Вычитание и деление вещественных чисел вводятся как операции, обратные сложению и умножению. Разность x и y - это вещественное число z, такое, что z + y = x. Можно доказать, что " x и y разность $ и единственна. Частное от деления x на y ¹ 0 - это вещественное число z, такое, что zy = x. Можно доказать, что " x и y ¹ 0 частное существует и единственно.

3 Понятие функции. Определение предела функции.

Пусть Х - числовое множество. Если каждому х Î Х поставлено в соответствие некоторое (единственное) число y, то говорят что на множестве Х определена (задана) функция и пишут

y = f (x), x Î X.

Множество X называется областью определения функции, х - аргументом функции или независимой переменной.

Число у, соответствующее данному х, называется частным значением функции в точке х, а множество { y } = Y, называется множеством значений функции.

Пусть X - числовое множество.

Число a (a Î X, либо a Ï X) называется предельной точкой множества X, если в " окрестности точки a содержатся точки (хотя бы одна) из множества X, отличные от а: x Î X, x ¹ a.

Пример 1:

X = (a < x < b)

" точка из (a, b) а также точки a и b - предельные точки X.

Все остальные точки не являются предельными точками X.

Пример2:

{ n }=1,2,3…. Это множество не имеет предельных точек.

Определение предела функции по Коши. Пусть f(x) определена на Х и пусть a -предельная точка X.

Число b называется пределом f (x) в точке a, если " e > 0 $ d > 0 такое, что

" ч Î Ч б 0 Б / ч - ф / Б d Ж / а (ч) - и / Б e ю

Число b называется пределом функции f (x) в точке a (при x ® a) если " e > 0 $ d > 0, такое, что

" x Î X, 0 < | x - a | < d: | f (x) - b | < e.

Обозначение: f (x) = b.

Множесво {0 < | x - a | < d} называется проколотой d-окрестностью точки a.

Геометрическая интерпретация определения предела функции.

(вставить рисунок)

заметим, что 0 < | x - a | < d Û

| f (x) - b | < e Û b - e < f (x) < b + e.

С геометрической точки зрения тот факт, что f (x) = b, означает, что для значений аргумента из проколотой d-окрестности точки a график функции y = f (x) лежит в полосе между прямыми

y = b - e и y = b + e. При этом в самой точке a f (x) может быть не определена, либо её значение в данной точке может выходить за пределы данной полосы.

 

Замечание 1.

Функция может иметь в данной точке только один предел. В самом деле, допустим, что f (x) имеет в точке a два предельных значения: b и c.

Возьмём e столь малым, чтобы e-окрестности точек b и c не пересекались.

Тогда для значений аргумента из проколотой окрестности точки a значения функции должны лежать одновременно в e-окрестности b и в e-окрестности точки c, чего не может быть так как эти e-окрестности не пересекаются.

Функция y = f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если $ число

M (m), " x Î X: f (x) £ M (f (x) ³ m). При этом число M (m) называют верхней (нижней) гранью функции f (x) на множестве X.

f (x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на этом множестве и сверху и снизу, то есть $ M и m, " x Î X: m £ f (x) £ M.
Эквивалентное определение ограниченной функции:

f (x) называется ограниченной на X,если $ A >0, " x Î X: | f (x) | £ A.

Замечание 2.

Если функция f(x) имеет предел в точке a, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Утверждение следует непосредственно из определения предела.

 

Примеры:

1) f (x) = b = const (" x).

f (x) = b (" a).

В самом деле, " e > 0 возьмем " d > 0. Тогда " x, | x - a | < d: | f (x) - b | = | b - b | = 0 < e.

2) f(x) =

(рисунок)

f (x) = b.

3) f (x) =

рисунок

f (x) = b.

4) f (x) = x (" x).

f (x) = а.

В самом деле, "e > 0 возьмём d = e. Тогда " x, | x - a | < d = e: | - a | = | x - a | < e.

Это и означает, по определению предела, что f (x) = a.

7) f (x) = sin (x ¹ 0). Докажем, что не существует.

(Pисунок)

Предположим, что $ = b. Возьмём e = 1. Согласно определению предела функции,

$ d > 0: " x, 0 < | x | < d: | sin - b | < 1.

Возьмём = , = . Тогда для достаточно большого натурального n будут выполнены неравенства:

0 < < d, 0 < < d. И, следовательно, | sin - b | < 1, т.е. | 1 - b | < 1, и также

| sin - b | < 1, т.е. | 1 + b | < 1.

При любом b подчёркнутые неравенства противоречат друг другу, и это доказывает, что

не существует.

6) Докажем, что sin x =0.

Предварительно докажем неравенствa sin x < x < tg x при 0 < x < .

(рисунок)

, то есть

sin x < × x < tg x. Итак, sin x < x < tg x при 0 < x < Þ | sin x | < | x | < | tg x |

при 0 < | x | < . Воспользуемся подчеркнутым неравенством. Зададим произвольное e > 0 и

возьмём d = e. Тогда. Если 0 < | x - 0 | < d = e, то | sin x - 0 | = | sin x | < | x | < e.

Это и означает по определению, что sin x = 0.