Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.

f (x) называется 1) возрастающей на X, 2) убывающей на X, 3) невозрастающей на X, 4) неубывающей на X,

если " и Î X, < :

1) f () < f (),

2) f () > f (),

3) f () ³ f (),

4) f () £ f ().

Функции 1) - 4) называются монотонными на X,

функции 1) - 2) называются строго монотонными на X.

Примеры:

1) f (x) = - возрастающая на [0, + ¥].

2) f (x) =[x]- неубывающая на (-¥, ¥).

Пусть f (x)- ограниченна сверху на X, то есть $ M >0, " x Î X: f (x) £ M. Число М называется верхней гранью функции f (x) на множестве Х. Наименьшая из верхних граней ограниченной сверху на X f (x) называется её точной верхней гранью и обозначается f (x).

Эквивалентное определение:

Число M называется точной верхней гранью f (x) на X, если:

1) " x Î X: f (x) £ M.

2) " < M $ Î X: f () > .

[7] Сформулировать аналогичное определение точной нижней грани функции. f (x).

Пример:

1) sin x = 1, sin x = 0.

2) sin x = 1, sin x = 0.

Различие случаев 1) и 2) в том, что в случае 1) функция принимает значения, равные Sup и Inf, а во втором не принимает.

Теорема 2.7

Пусть f (x)- монотонная и ограниченная на полупрямой (а, + ¥), тогда существует f (x).

Доказательство:

Пусть, для определённости f (x) не убывает и ограничена сверху на (а, + ¥). Тогда она имеет на (а, + ¥) точную верхнюю грань. Введём обозначение: f (x) = b. Докажем, что f (x) = b.

Зададим произвольное e > 0 и рассмотрим число b - e < b, по определнию точной верхней грани $ А: f (A) > b - e. Так как f (x) ³ f(a) при x ³ A, то f (x) > b - e при x ³ A, или b - f (x) < e при x ³ A, то есть | f (x) - b | < e при x ³ A. а это и означает, что f (x) = b.

Теорема доказана.

Следствие:

Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Замечание:

Теорема, аналогичная теореме 7, имеет место для односторонних пределов функции, например: если f (x)- монотонная и ограниченная в некоторой правой полуокрестности точки а, то существует f (x). Пример

Рассмотрим последовательность: = .

Докажем, что она монотонная и ограниченная.

Нам понадобится неравенство Бернулли: ³ 1 + nx "натурального n и " x > -1, причём при n > 1 знак равенства имеет место только для x = 0 (доказать самостоятельно по индукции).

Используя неравенство Бернулли, получаем:

= = × = × =

= × > × = 1. Итак, " n: >1, то есть > .

Следовательно, { }-возрастающая последовательность.

Рассмотрим { }: = × = . Отметим, что > .

Составим отношение , применим неравенство Бернулли и получим (аналогично тому, как было получено для последовательности { }), что "n: > , то есть { }- убывающая последовательность.

Используя три неравенства: , приходим к цепочке неравенств:

" n: 2 = < … < < < < < … < = 4.

Следовательно, последовательности { } и { } - монотонные и ограниченные. Поэтому, они сходятся, причём lim = lim (последнее следует из = ). Обозначим этот предел

буквой е: lim = = е (по определению). Можно показать, что е = 2.71828…