Решение линейных систем. Норма (матрицы, вектора) и понятие обусловленности. Прямые и итерационные методы решения.

Рассмотрим линейную алгебраическую систему, записанную в виде векторно-математ. уравнения

; А – невырожденная матрица (квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля) nxn;

b – ненулевой n-мерный вектор ; x – n-мерный вектор неизвестных ;

Пусть правая часть (1) получила приращение , т.е вместо истинного вектора b воспользуемся . Реакцией решения х на возмущение правой части будет вектор поправок , т.е если х – решение (1), то

– решение . Для того, чтобы сравнивать и оценивать близость матриц (векторов), вводится понятие нормы:

Норма (матрицы, вектора) А - действительное число (норма А), удовлетворяющее условиям:

1.

2.

3.

Длина вектора и есть норма, обратное не верно.

Норма вектора – выражение вида

При p=2:

При p=1:

При p= :

Обусловленность - положительное число (мера обусловленности) матрицы А. Обозначают condA;

Методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные.

Прямые – используют конечные разности для вычисления неизвестных. Просты и наиболее универсальны.

Недостатки – требуют хранения в памяти ЭВМ сразу всей матрицы, не учитывают структуру матрицы, сильное накапливание погрешностей в процессе решения.

Итерационные – методы последовательных приближений, в которых необходимо задать начальное приближение и после этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений – итерация.

Итерации проводятся для получения решений с треб. точностью.

«+» - не треб. хранения в памяти машины всей матрицы, погрешности не накапливаются.