Решение нелинейных уравнений. Методы деления отрезка пополам, хорд, касательных, простой итерации.

Пусть требуется решить уравнение F(x) = 0, прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения, но большинство уравнений не могут быть решены прямым методом. Для их решения используют итерацион. Методы. Алгоритм нахождения корня ур-я с помощью итер. метода состоит из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. Уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Приближенное значение корня может быть найдено различным способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения найти не удаётся, то находят 2 близко приближенные точки a и b, в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков. . В этом случае м/ж точками a и b есть по крайней мере одна точка, в которой F(x)=0. В качестве нач. прибл-я можно взять середину отрезка [a;b], т.е

Метод деления отрезка пополам

После n-й итерации отрезок сокращается в раз. Итер. процесс продолжается до тех пор, пока значении ф-и F(x) после n-й итерации не станет меньше по модулю заданного числа Ԑ:

Метод хорд

Пусть на отрезке существует корень, т.е

Через точки и проводим прямую, каноническое уравнение которой имеет вид:

Находим точку пересечения с осью абсцисс, т.е (у=0)

Сравниваем знаки F(a), F(b), F(c₀), выбираем интервал, знаки на концах которых разные [c₀;b], затем проводится след. итерация

и т.д. Итер. процесс продолжается до тех пор, пока или

Метод касательных

Его отличие от предыдущего состоит в том, что проводится касательная к графику ф-и F(x). Тогда С₀ – некое начальное приближение. Строят уравнение касательной , откуда находим след. приближение корни С₁, как абсциссу точки пересечения касательной с осью Х.

(y=0) . Аналогично нах-ся след. приближение . Для окончания итер. процесса м.б. использовано условие

Простая итерация

Если удалось уравнение F(x)=0 переписать в виде x=f(x), то выбрав начальное приближение С₀ можно построить итерационный процесс С_n+1 = f(C_n). Достаточным условием сходимости этого метода явл. условие