Особливості, принципи математичного моделювання

Моделювання є процесом побудови, вивчення та застосування моделей. Воно поєднане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза тощо. Процес моделювання обов’язково включає конструювання наукових гіпотез.

Головна особливість моделювання полягає у тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об’єктів-заміщувачів. Модель постає як своєрідний інструмент пізнання, що його дослідник (системний аналітик) ставить між собою та об’єктом і за допомогою якого вивчає об’єкт, який його цікавить. Саме ця особливість моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання.

Необхідність використання моделювання визначається тим, що багато об’єктів (чи аспектів, які стосуються цих об’єктів) безпосередньо досліджувати чи взагалі неможливо, чи це вимагає багато часу і коштів.

Нехай є чи необхідно створити деякий об’єкт А. Ми конструюємо (матеріально чи в уяві) або знаходимо в реальному світі інший об’єкт B — модель об’єкта A. Можна виокремити такі чотири основні етапи побудови моделі.

Перший етап передбачає наявність деяких знань про об’єкт-оригінал. Пізнавальні можливості моделі зумовлюються тим, що модель відображає, з погляду системного аналітика, суттєві риси об’єкта-оригіналу. Питання про необхідність і достатність подібності оригіналу і моделі потребує аналізу. Очевидно, модель втрачає сенс як у випадку тотожності з оригіналом (тоді вона не перестає бути оригіналом), так і в разі надмірного в усіх суттєвих відношеннях спрощення. Вивчення одних властивостей модельованого об’єкта відбувається за рахунок відмови від відображення інших сторін. Через це будь-яка модель заміщує оригінал тільки у строго обмеженому сенсі. Із цього випливає, що для одного об’єкта може бути побудовано декілька «спеціалізованих» моделей, які концентрують увагу на певних сторонах досліджуваного об’єкта чи характеризують об’єкт із різним рівнем деталізації.

На другому етапі модель постає як самостійний об’єкт дослідження. Однією з форм такого дослідження є проведення «модельних» експериментів, за яких свідомо змінюють умови функціонування моделі і систематизують дані про її «поведінку». Остаточ­ним результатом цього етапу є множина знань про модель В.

На третьому етапі здійснюється перенесення знань з моделі на оригінал — формування множини знань S про об’єкт. Цей процес перенесення знань проводиться за певними правилами. Знання про модель мають бути скоригованими з урахуванням тих властивостей об’єкта-оригіналу, котрі не знайшли відображення чи були деформованими під час побудови моделі. Ми можемо з достатньою підставою переносити який-небудь результат з моделі на оригінал, якщо цей результат обов’язково пов’язаний з ознаками подібності оригіналу й моделі. Якщо ж певний результат модельного дослідження пов’язаний з відмінністю моделі від оригіналу, то його переносити неправомірно.

Четвертий етап — практична перевірка одержаних за допомогою моделей знань та використання їх для побудови узагальнюючої теорії об’єкта чи управління ним.

Для розуміння сутності моделювання важливо мати на увазі, що моделювання — не єдине джерело отримання нових знань про об’єкт. Процес моделювання «занурений» у більш загальний процес пізнання. Це враховується не лише на етапі побудови моделі, а й на завершальній стадії, коли відбувається об’єднання й узагальнення результатів дослідження, які одержують на підставі різноманітних засобів пізнання.

Моделювання — циклічний процес: за першим чотирьохетапним циклом може настати другий, третій тощо. При цьому знання про досліджуваний об’єкт розширюються та уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, які виявляються після першого циклу моделювання, що зумовлені, наприклад, недостатнім вивченням об’єкта й помилками в побудові моделі, можна виправити в наступних циклах. У методології моделювання, таким чином, закладені можливості саморозвитку.

Зазначимо, що загальновизнаними вважаються три підходи до побудови математичних моделей. Методично ці підходи пов’я­зані та скеровують на перехід від простого до складного.

Перший — спрощення реальної ситуації. Суттєве спрощення досягається тоді, коли несуттєві властивості початкової емпіричної стадії пізнання досліджуваного об’єкта та його оточення не враховуються. Отже, складна за своєю природою практична ситуація спрощується до ідеалізованого аналога, який піддається математичному описові.

Другий — побудова простої моделі на підставі певних, найхарактерніших особливостей реальної ситуації, з наступним послідовним ускладненням такої моделі шляхом охоплення інших чинників аж до отримання «прийнятного» варіанта моделі.

Третій — введення значної кількості чинників у їхніх взаємозв’язках і побудова та вивчення моделі засобами імітаційного моделювання. У кожному випадку модель «розвивається» та уточ­нюється у міру досягнення глибшого розуміння системним аналітиком сутності поставленої задачі та об’єкта дослідження.

Системні аналітики зобов’язані керуватися також принципами щодо концепції «математична модель» деякого об’єкта.

Принцип 1. Діалектична пара модель—об’єкт завжди полярна, має два полюси — «модель» і «об’єкт».

Принцип 2. З двох взаємопов’язаних полюсів діалектичної пари модель—об’єкт один є первинним, інший — похідний від нього.

Принцип 3. Наявності полюса «об’єкт» недостатньо для наявності полюса «модель», наявність полюса «модель» зумовлює необхідність наявності полюса «об’єкт».

Принцип 4. Як «модель» для даного «об’єкта», так і «об’єкт» для даної «моделі» семантично та інтерпретаційно багатозначні: «модель» віддзеркалює властивості не одного, а багатьох «об’єктів», «об’єкт» описується не однією, а багатьма «моделями».

Принцип 5. «Модель» повинна бути адекватною «об’єк­тові» й відображати з певною точністю основні його риси та властивості залежно від цілей дослідження, наявної інформації, прийнятної системи гіпотез.

Варто зазначити, що на практиці реалізуються три основні ступені формалізації (формування математичної моделі): змістовний опис; формалізована схема; математична модель.

З огляду на цілі дослідження, мету побудови моделі первинна емпірична ситуація, щодо якої формулюється «задача» (дослідження), передусім підлягає ґрунтовному аналізу, початковим пунктом якого є змістовний опис об’єкта (явища, процесу). На вер­бальному рівні (мовними засобами) відтворюються дані про природу (сутність) об’єкта, кількісні характеристики явищ (процесів), які спостерігаються, характер взаємодії між складовими елементами, місце та важливість кожного явища в загальному процесі функціонування об’єкта дослідження. На рівні змістовного опису формалізація зводиться до виокремлення множини суттєвих (ключових) чинників, що характеризують об’єкт (згідно з метою дослідження й побудови моделі), його структуру, властивості, співвідношення між складовими частинами. Кожен з виокремлених чинників повинен бути описаний на якісному та кількісному рівнях (інтервал можливих значень, шкала вимірювання тощо). Формою змістовного опису може бути термінологічний вислів, текст, сукупність числових значень з відповідним коментарем.

Паралельно зі змістовним описом (чи дещо пізніше) може фор­муватися схема, яка у вигляді символів, графіків, графів, таблиць зображує перелік та взаємозв’язки щодо виявлення суттєвих чинників так, щоб надати їм цілісність, котра б у загальних рисах відтворювала (адекватно) властивості об’єкта дослідження. Закони та закономірності можуть бути замінені описовими виразами, назви — математичними символами, відношення — математичними діями (операторами).

Подальше перетворення змістовного опису та формалізованої схеми в єдину групу математичних символів та співвідношень завершується побудовою математичної моделі. Дія законів і закономірностей «матеріалізується» через правила формальної логіки та логічного виведення у формі рівнянь, нерівностей, співвідношень між математичними символами, з точністю до істинності математичних перетворень та відповідності щодо сформульованих гіпотез реальним законам. Така модель є математичною моделлю досліджуваного об’єкта й подібних до нього об’єктів-аналогів.

Існують різні форми зображення математичної моделі. Різновид їх обмежується чотирма найтиповішими групами — інваріантною, алгоритмічною, аналітичною, схемною.

Інваріантна форма — зображення математичної моделі безвідносно до методів, за допомогою яких може розв’язуватись поставлена задача моделювання.

інваріантної форми:

де а, b, c — відомі характеристики об’єкта; f (Z, p) — відома функція; y (Z, p) — невідома функція.

Алгоритмічна форма — зображення математичної моделі у вигляді послідовності дій, які необхідно виконати, щоб при розв’язанні поставленої задачі моделювання перейти від відомих даних до шуканого результату.

алгоритмічної форми:

1. Визначити значення характеристик об’єкта a, b, c.

2. Обчислити d:

3. Якщо d ³ 0, то обчислення значення результату (х, у):

.

Аналітична форма — зображення математичної моделі у вигляді формул та співвідношень між математичними виразами, за допомогою яких шукані в задачі моделювання результати визначаються через відомі дані.

аналітичної форми:

де a, b — відомі характеристики об’єкта, х — змінна, у — результат.

Схемна форма — зображення математичної моделі у вигляді таблиць даних, діаграм, схем, графів, графіків.

схемної форми:

Тут F ₁, F ₂ — передаточні функції об’єкта.

Використання аналогів у побудові моделей. Аналоги в побудові моделей використовуються у величезній кількості випадків: або за спроби побудувати модель деякого об’єкта, або коли неможливо прямо вказати фундаментальні закони чи варіаційні принципи, котрим він підпорядковується, або коли з погляду наших сьогоденних знань взагалі немає впевненості в існуванні подібних законів, що допускають математичну формалізацію. Одним із плідних підходів до такого роду об’єктів є використання аналогів з уже вивченими явищами.

Здавалося б, що є спільного між радіоактивним розпадом і динамікою популяцій, зокрема, зміною чисельності населення нашої планети? Однак на простому рівні дослідження така аналогія проглядається, про що свідчить одна з найпростіших моделей популяцій — модель Мальтуса. У підґрунті моделі Мальтуса — просте твердження: швидкість зміни у чисельності населення з часом t пропорційна його поточній чисельності N (t), помноженій на алгебраїчну суму коефіцієнтів народжуваності та смертності .

У результаті маємо рівняння

(2.1)

яке дуже схоже на рівняння радіоактивного розпаду й збігається з ним за умови a < b (якщо a і постійні). Це не дивно, бо для виведення їх використовувались однакові міркування. Інтегрування рівняння (2.1) дає:

де N (0) = N (t = t ₀) — початкова чисельність.

Якщо a = b, то чисельність залишається постійною, тобто в цьому випадку розв’язком є рівноважна величина N (t) = N (0). Рів­новага між народжуваністю й смертністю нестійка в тому розумінні, що навіть невелике порушення рівності a = b приводить з плином часу до все більшого відхилення функції N (t) від рівноважного значення N (0). За умови a < b чисельність населення знижується й прямує до нуля, коли t ®¥, а за a > b — зростає за певним експоненційним законом до нескінченності, якщо t ®¥. Остання обставина й слугувала підставою для побоювань Мальтуса щодо майбутнього, пов’язаного з перенаселенням землі з усіма випливаючими звідси наслідками. Як у даному прикладі, так і в низці інших випадків можна вказати на чимало очевидних обмежень щодо застосування побудованої моделі. Звичайно ж, дуже складний процес зміни чисельності населення, що залежить до того ж від свідомого втручання самих людей, не може описуватись якимись простими закономірностями. Навіть в ідеальному випадку ізольованої біологічної популяції запропонована модель не відповідає реаліям повною мірою, хоча б зважаючи на обмежені ресурси, необхідні для її існування. Зроблене зауваження аж ніяк не применшує ролі аналогій у побудові математичних моделей дуже складних явищ.

Наголосимо, що використання аналогій ґрунтується на одній з дуже важливих властивостей моделей — їхній універсальності, тобто використанні їх щодо об’єктів принципово різної природи. Так, припущення (гіпотеза) типу «швидкість зміни величини пропорційна значенню самої величини (чи деякої функції від неї)» широко використовується в економіці.

Ієрархічний підхід до формування моделей. Лише в небагатьох випадках буває зручною і виправданою побудова математичних моделей навіть щодо простих об’єктів відразу в усій повноті, з урахуванням усіх суттєвих чинників. Тому природним є підхід, що реалізує принцип «від простого — до складного», коли наступний крок робиться після досить детального вивчення не дуже складної моделі. Отже, виникає ланцюжок (ієрархія) усе більш деталізованих моделей, кожна з яких узагальнює попередні, вклю­чаючи їх як частковий випадок.

Зазначимо, що на практиці використовують банк моделей і здійснюють адаптацію відомої моделі.