Параметрические уравнения линии

 

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений

(1)

где х и у - координаты произвольной точки М (х; у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром.

Параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Так, если

то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (4; 1), т.к. х = 2 + 2 = 4, y = 2 · 2 – 3 = 1.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания кривой называется параметрическим, а уравнения (1) - параметрическими уравнениями линии.

Рассмотрим примерыизвестных кривых, заданных в параметрическом виде.

1) Астроида:

где а > 0 – постоянная величина.

При а = 2 имеет вид:

Рис.4. Астроида

 

2) Циклоида: где а > 0 – постоянная.

При а = 2 имеет вид:

 

Рис.5. Циклоида

Векторное уравнение линии

 

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением

,

где t – скалярный переменный параметр.

Каждому значению параметра t ₀соответствует определённый вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (рис. 6).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху

соответствуют два скалярных уравнения (4), т.е. уравнения проекций

на оси координат векторного уравнения линии есть её параметрические уравнения.

 

 

Рис.6. Векторное уравнение линии

 

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, линия – траекторией точки, параметр t - время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F (x, y) = 0.

Отметим ещё раз, что в аналитической геометрии на плоскости решают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, требуется найти её уравнение. Вторая: зная уравнение кривой, требуется найти её форму и свойства.