Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим уравнение прямой вида (6). Обозначив равные отношения величиной t, получим

= t,

или у - у ₀ = t (у ₁ - у ₀); x - x ₀ = t (x ₁ - x ₀), откуда

x = x ₀+ t (x ₁ - x ₀); у = у ₀+ t (у ₁ - у ₀). (7)

Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой.

Заметим, что при t = 0 из уравнений (7) получим координаты точки М ₀(х ₀; у ₀), при t = 1 - координаты точки М ₁(х ₁; у ₁), при 0 < t < 1 - координаты любой внутренней точки отрезка [ М ₀ М ₁].

Если , то точка М (х; у) описывает рассматриваемую прямую.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Перпендикулярно данному вектору

Пусть прямая проходит (рис.10) через точку М ₀ (х ₀; у ₀) перпендикулярно ненулевому вектору .

 

Рис.10. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

 

 

Возьмём на прямой произвольную точку М (х; у) и рассмотрим вектор = (х - х ₀; у - у ₀). Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (п. 3.10):

∙ = 0,

или

А (х - х ₀) + В (у - у ₀) = 0. (8)

Уравнение (8) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Из уравнения (8), раскрыв скобки, можно получить общее уравнение прямой.

Пример. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (- 3; 1) перпендикулярно вектору = (- 2; 7).

Решение. По уравнению (8): -2 (х – (- 3)) + 7(у - 1) = 0. Откуда после преобразований получим общее уравнение прямой:

- 2 x + 7 у - 13= 0.