Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Отметим, что в левой части содержит характеристику частицы импульса p, а в правой – характеристику волны 𝛌. Именно эта формула нагляднее всего свидетельств о корпускулярно-волновом дуализме в отношении частиц и более широком смысле объясняет вероятностные свойства микромира.

В рамках концепции корпускулярно-волнового дуализма частиц запишем известное соотношение из теории волн: . Это соотношение записано для произвольного волнового пакета и - область локализации волнового пакета в обычном пространстве, а - число волновых чисел из которых состоит волновой пакет или, другими словами, область локализации волнового пакета в пространстве волновых чисел.

Немецкий физик Гейзенберг применил соотношение: к волновому пакету де-Бройля, до множил на ħ => . Здесь – неопределенность импульса частицы, а – неопределенность координаты. Это соотношение получило название соотношение неопределенностей Гейзенберга и более строго оно записывается так: . Гейзенберг интерпретировал данное соотношение следующим образом: если мы измеряем локализацию частицы, то есть, её местоположение, то, в результате, многочисленных измерений, мы получим некоторое среднее значение x₀. Результат же конкретного измерения идеальным прибором (прибором без погрешности) будет давать значения (интервал) отсюда и получило название неопределенной координаты.

 

Точно так же рассуждения можно провести и для неопределенности импульса .

Из соотношения неопределенностей следует, что, если мы попытаемся максимально точно измерить местоположение частицы (, то неопределенность импульса проекции будет бесконечно возрастать, и мы ничего не сможем сказать о его численном значении. Наоборот, если мы стремимся максимально точно измерить импульс, то есть, из соотношения неопределённости следует, что . Последнее означает, что мы не сможем узнать, в каком месте пространства находится частица.

Соотношение неопределенности Гейзенберга фактически отражает вероятностный характер поведения микрочастиц. С математической точки зрения соотношение неопределенностей означает, что координата и проекция импульса являются взаимоисключающими переменными и одновременно не могут быть измерены точно (отметим, что речь идет с использованием абсолютно точного прибора). В квантовой механике, кроме приведенных выше, существуют и другие пары взаимоисключающих переменных . Здесь . Кроме этого, нельзя одновременно измерить 2 проекции момента импульса на разные оси координат.

 

ГЛАВА 2: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

9. Волновая функция и её основные свойства.

Хорошо известно, что в квантовой механике состояние любой частицы определяется тремя координатами и тремя проекциями импульса, то есть шестью скалярными функциями. Если мы имеем уравнения движения или закон движения (уравнения Ньютона, Лагранжа, Гамильтона) и знаем начальные условия, то есть местоположение частицы в начальный момент времени, то решив уравнения движения, мы будем знать траекторию, а, следовательно, и состояние частицы в любой момент времени, такой подход называется классическим детерминизмом.

В квантовой механике состояние частицы принято описывать так называемой волновой функцией: ; . Зная волновую функцию, мы можем определить вероятность состояния микрочастицы следующим образом: .

В самом простейшем случае под состоянием микрочастицы мы будем понимать её местоположение в пространстве. В квантовой механике постулируется, что волновая функция подчиняется уравнению Шрёдингера, решив которое, с учётом начального значения волновой функции, мы получим волновую функцию в произвольный момент времени, то есть ; => , то есть вероятность состояния микрочастицы в любой произвольный момент времени зависит от вероятности состояния в начальный момент времени, такой подход называется квантовый детерминизм.

Рассмотрим основные свойства волновой функции (; ; ; ): 1) нормировка волновой функции .

Волновая функция в квантовой механике обязана, подчинятся трем основным требованиям: 1. непрерывность; 2. однозначность; 3. конечность.

Для волновой функции считается справедливым принцип суперпозиции состояния. Суть его в следующем: если микрочастицы могут находиться в состоянии волновой функции , то эти частицы могут находиться в состоянии .

Отметим, что введенная здесь волновая функция зависит от координат времени, но не зависит от импульсов частиц. Это связанно с принципом неопределенности Гейзенберга, из которого следует, что координаты и импульс являются взаимоисключающими переменными. Представление волновой функции в виде: = (x, t) называется x представлением (<x>) или координатным представлением. Однако, в квантовой механике существует возможность использовать и другие переменные в качестве основных = (p, t), (импульсное представление.

, < -энергетическое представление (эпсилон представление).

Плотность представления - ; dW.

Различные виды представления волновой функции связаны между собой, например: .