Период затухающих колебаний Т определится по формуле

 

. (23.8)

 

При малом затухании период затухающих колебаний можно приближенно считать равным периоду незатухающих

 

(формула Томсона). (23.9)

 

Напряжение на конденсаторе U_C, сила тока в контуре I, напряжение на катушке индуктивности U_L, так же как и заряд, совершают затухающие колебания, поскольку они связаны с зарядом,

 

,

 

где .

Для количественной характеристики затухания вводят логарифмический декремент

. (23.10)

 

Под (см. рис. 23.2) понимают соседние амплитуды либо заряда, либо тока, либо напряжения в моменты времени t и (t + T). Из (23.10) можно вывести выражение, связывающее , и Т,

 

 

Заменив в последнем выражении d и Т формулами (23.3) и (23.8),
получим

 

. (23.11)

 

При малом затухании

и

. (23.12)

 

=

С увеличением сопротивления контура коэффициент затухания растет, частота w уменьшается (23.7), а период затухающих колебаний увеличивается. При некотором сопротивлении контура период становится равным бесконечности, а частота колебаний обращается в нуль (Т = ¥, w = 0). В этом случае в контуре вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора (рис. 23.3, кривая б).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим R _крит.. Величину критического сопротивления определяют из условия

 

. (23.13)

 

Для определения качества контура как колебательной системы часто используется, в частности в радиотехнике, особый параметр – добротность контура Q. Выясним физический смысл этого параметра.

Рассмотрим собственные колебания в контуре, которые описывает уравнение (23.6). Энергия, запасенная в контуре в начальный момент времени , пропорциональна квадрату амплитуды колебаний

 

.

 

Через один период (t = Т) эта энергия будет равна

 

.

 

Изменение энергии колебаний за период Т, отнесенное к начальной энергии, равно

 

.

 

Относительное изменение энергии за время, в течение которого фаза колебаний возрастает на 1 радиан, равно

 

 

где последнее выражение верно при d << w₀ (малое затухание).

Обратная величина

 

называется добротностью колебательного контура (последнее выражение верно при d << w₀).

Приведем другие выражения для измерения добротности [1, 2]

 

(23.14)

 

где l – логарифмический декремент колебаний, R – активное сопротивление контура.