Из формул (25.13) и (25.14) следует, что

 

. (25.19)

 

Следовательно, добротность равна отношению резонансного напряжения U _рез на конденсаторе к амплитуде напряжения источника ЭДС e _m

(25.20)

 

т.е. характеризует не только ширину, но и высоту резонансного пика.

Вернемся к рассмотрению цепи, изображенной на рис. 25.1. Пусть ЭДС источника изменяется по закону

 

. (25.21)

 

Воспользовавшись вторым правилом Кирхгофа (25.2) и считая искомой величиной силу тока, получим

 

. (25.22)

 

Используя комплексное представление правой части (см. (25.6), (25.7)) и считая искомую величину комплексным числом, вместо (25.22) записываем

, (25.23)

где .

Будем искать частное решение уравнения (25.23) в виде

 

. (25.24)

 

Подставляя (25.24) в (25.23) и сокращая на , получаем

 

. (25.25)

 

Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса контура и обозначается

 

. (25.26)

 

Выражение для определяется только свойствами пассивных элементов, входящих в состав контура. Подставляя (25.26) в (25.25), получаем

. (25.27)

Это выражение является законом Ома для переменного тока. Роль сопротивления здесь играет .

Выражение для величины содержит действительную часть, называемую активным сопротивлением, и мнимую часть, называемую реактивным сопротивлением.

Из формулы (25.26) видно, что импеданс идеального резистора равен R, идеальной катушки i w L, идеального конденсатора .

Представим импеданс в показательной форме

 

, (25.28)

 

где .

 

Переходя к действительному выражению для силы тока из (25.24), (25.27) и (25.28), получаем

 

 

. (25.29)

 

Сравнивая (25.29) и (25.21), видим, что ток отстает по фазе от ЭДС генератора на величину .

Рассмотрим важные частные случаи:

1. В цепь включено только сопротивление R. Тогда из (25.28) следует, что . Колебания тока в активном сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями напряжения на нем.

2. В цепь включена только емкость С (конденсатор без утечки), из (25.28) . Ток по фазе опережает напряжение на радиан.

3. В цепь включена только индуктивность L (катушка, активным сопротивлением которой R_L можно пренебречь). Из выражения (25.28) следует, что . Ток цепи отстает по фазе от напряжения на радиан. Если же R_L ¹ 0, то .

Если теперь рассмотреть цепочку, состоящую из резистора, конденсатора и катушки, в каждом из которых сила тока I за счет последовательного соединения колеблется в одинаковой фазе, то сдвинутыми по фазе относительно друг друга окажутся напряжения на каждом из этих элементов цепи. При этом напряжения на идеальной емкости и идеальной индуктивности всегда окажутся сдвинутыми относительно друг друга по фазе на p радиан (колебания U_C и U_L – противофазные).

Зависимость разности фаз от частоты вынужденных колебаний называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ). На рис. 25.3 представлены ФЧХ для емкости Dj _С, индуктивности Dj _L и LC цепочки Dj _L по отношению к колебаниям источника ЭДС.

Из формулы (29), кроме того, следует, что при любых значениях активного сопротивления R максимум амплитуды колебаний силы тока достигается при условии .

 

Рис. 25.3

 

Следовательно, резонансная частота для силы тока равна собственной частоте незатухающих колебаний контура: .