Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретические сведения. Постановка задачи. Решение уравнений является одной из задач, наиболее часто встречающихся в практике инженера





Постановка задачи. Решение уравнений является одной из задач, наиболее часто встречающихся в практике инженера. Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде

. (1.1)

Решением уравнения (1.1) называется такое значение (корень уравнения), при котором . Формулы для нахождения точного значения корней известны только для узкого класса уравнений. На практике часто встречаются уравнения, которые невозможно решить с помощью элементарных приемов. Кроме того, в инженерных расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы приближенно. Поэтому важное значение приобретают методы, позволяющие сколь угодно точно находить корни уравнения (1.1).

Задача решения уравнения с заданной точностью обычно содержит два этапа:

а) отделение корней – выделение отрезков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1.1);

б) уточнение приближенных корней, т.е. вычисление их с требуемой точностью.

Для каждого из этапов решения задачи разработаны свои численные методы.

Отделение действительных корней. Рассмотрим уравнение (1.1). Для отделения корней используем теорему Больцано–Коши: если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. , то внутри этого
отрезка находится по крайней мере один корень уравнения . Этот корень будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .
На практике часто используют табличный метод отделения корней и графический.

1. Табличный метод (метод перебора).

Находим знаки функции в ряде точек из области определения функции , , , …. Если , то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке имеется по крайней мере один корень уравнения . Теперь нужно тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным. Если на отрезке не меняет знак, корень – единственный (в силу монотонности ).

2. Графический метод.

Строим график функции и по чертежу находим интервалы, содержащие абциссы точек пересечения графика функции с осью , т.е. нули функции . Если уравнение не имеет близких по значению корней, то этим способом корни легко отделяются. Иногда уравнение удобно представить в виде , где функции – более простые, и, построив графики функций и , определить интервалы, содержащие точки их пересечения.

Рассмотрим этап отделения корней в случае алгебраического уравнения n-степени ():

, (1.2)

где коэффициенты – действительные числа, причем .

Основная теорема алгебры: алгебраическое уравнение n-степени (а следовательно, и полином P(x)) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Теорема 1. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.2) действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если ( – действительные) есть корень уравнения (1.2) кратности s, то число также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.

Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере одиндействительный корень.

Грубая оценка модулей корней уравнения (1.2) получается на основании теоремы 2.

Теорема 2. Пусть , где – коэффициенты уравнения (1.2). Тогда модули всех корней уравнения (1.2) удовлетворяют неравенству

,

т.е. корни этого уравнения на комплексной плоскости расположены внутри круга.

Уточнение корня методом половинного деления. Пусть найден отрезок , на котором находится единственный корень уравнения . Обозначим его . Для нахождения корня уравнения делим отрезок пополам. Если , то и задача решена. В случае выбираем ту половину отрезка , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам, повторяем те же действия и т.д. В результате на каком-то этапе получаем точный корень уравнения или последовательность вложенных друг в друга отрезков , ,…, ,…. Доказано, что . Для вычисления корня уравнения с точностью до отрезок делим до тех пор, пока выполнится условие . За приближённое значение корня выбираем среднее значение на отрезке :

.

Дихотомия проста и надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций , в том числе и недифференцируемых. Метод половинного деления устойчив к погрешностям округления, но сходится он медленно. Количество итераций, необходимое для достижения заданной точности , можно оценить заранее по формуле

.








Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 432. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия