Постановка задачи. Решение уравнений является одной из задач, наиболее часто встречающихся в практике инженера. Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде
. (1.1)
Решением уравнения (1.1) называется такое значение
(корень уравнения), при котором
. Формулы для нахождения точного значения корней известны только для узкого класса уравнений. На практике часто встречаются уравнения, которые невозможно решить с помощью элементарных приемов. Кроме того, в инженерных расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы приближенно. Поэтому важное значение приобретают методы, позволяющие сколь угодно точно находить корни уравнения (1.1).
Задача решения уравнения с заданной точностью обычно содержит два этапа:
а) отделение корней – выделение отрезков, в которых содержится один и только один корень уравнения (1.1);
б) уточнение приближенных корней, т.е. вычисление их с требуемой точностью.
Для каждого из этапов решения задачи разработаны свои численные методы.
Отделение действительных корней. Рассмотрим уравнение (1.1). Для отделения корней используем теорему Больцано–Коши: если непрерывная функция
принимает значения разных знаков на концах отрезка
, т.е.
, то внутри этого
отрезка находится по крайней мере один корень уравнения
. Этот корень будет единственным, если производная
существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала
.
На практике часто используют табличный метод отделения корней и графический.
1. Табличный метод (метод перебора).
Находим знаки функции
в ряде точек из области определения функции
,
,
, …. Если
, то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке
имеется по крайней мере один корень уравнения
. Теперь нужно тем или иным способом проверить, является ли этот корень единственным. Если на отрезке
не меняет знак, корень – единственный (в силу монотонности
).
2. Графический метод.
Строим график функции
и по чертежу находим интервалы, содержащие абциссы точек пересечения графика функции с осью
, т.е. нули функции
. Если уравнение не имеет близких по значению корней, то этим способом корни легко отделяются. Иногда уравнение
удобно представить в виде
, где функции
– более простые, и, построив графики функций
и
, определить интервалы, содержащие точки их пересечения.
Рассмотрим этап отделения корней в случае алгебраического уравнения n-степени (
):
, (1.2)
где коэффициенты
– действительные числа, причем
.
Основная теорема алгебры: алгебраическое уравнение n-степени (а следовательно, и полином P(x)) имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
Теорема 1. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1.2) действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т.е. если
(
– действительные) есть корень уравнения (1.2) кратности s, то число
также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность s.
Следствие. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере одиндействительный корень.
Грубая оценка модулей корней уравнения (1.2) получается на основании теоремы 2.
Теорема 2. Пусть
, где
– коэффициенты уравнения (1.2). Тогда модули всех корней
уравнения (1.2) удовлетворяют неравенству
,
т.е. корни этого уравнения на комплексной плоскости
расположены внутри круга.
Уточнение корня методом половинного деления. Пусть найден отрезок
, на котором находится единственный корень уравнения
. Обозначим его
. Для нахождения корня уравнения делим отрезок
пополам. Если
, то
и задача решена. В случае
выбираем ту половину отрезка
, на концах которой функция
имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок
снова делим пополам, повторяем те же действия и т.д. В результате на каком-то этапе получаем точный корень уравнения или последовательность вложенных друг в друга отрезков
,
,…,
,…. Доказано, что
. Для вычисления корня уравнения с точностью до
отрезок
делим до тех пор, пока выполнится условие
. За приближённое значение корня выбираем среднее значение на отрезке
:
.
Дихотомия проста и надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций
, в том числе и недифференцируемых. Метод половинного деления устойчив к погрешностям округления, но сходится он медленно. Количество итераций, необходимое для достижения заданной точности
, можно оценить заранее по формуле
.