Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретические сведения. где – непрерывная функция





Пусть дано уравнение

, (3.1)

где – непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим заданное уравнение к эквивалентному виду

, (3.2)

где – некоторая непрерывная на отрезке функция.

Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (3.2):

.

Аналогично получаем итерационную последовательность:

;

;

…………..

.

Доказано, что если итерационная последовательность , , ,…, ,… сходится, то её пределом является корень уравнения (3.2), а значит, и корень уравнения (3.1), так как уравнения (3.1) и (3.2) равносильны.

Для сходимости итерационного процесса достаточно исходное уравнение привести к виду так, чтобы выполнялось условие

, (3.3)

где . При этом итерационная последовательность сходится независимо от выбора .

Итерации имеют геометрическую интерпретацию. Решение уравнения (3.2) является абсциссой точки пересечения прямой y = x и кривой y = φ(x). Геометрически видно, что если в окрестности решения выполняются неравенства 0 < φ’(x) ≤ М < 1, то последовательность {xK} монотонно сходится к , причем с той стороны, с которой расположено начальное приближение (рис. 3.1).

 

Рис. 3.1. Приближение к корню с одной стороны

 

В случае −1 < −M ≤ φ’(x) < 0 последовательные приближения расположены поочередно с разных сторон от решения (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2. Приближение к корню с разных сторон

 

Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, лишь бы функция удовлетворяла условию (3.3). Например, уравнение заменяем равносильным . В этом случае . Параметр выбираем так, чтобы ½ при .

Пример 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , .

Приводим исходное уравнение к виду .В этом случае . Тогда , при .

Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Метод итераций применим для решения полученного уравнения. Выбираем произвольное , например, , и начинаем процесс метода итераций.

Пример 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций.

Единственный корень заданного уравнения находится на отрезке . Рассмотренный в примере 1 способ в данном случае неприменим, так как при этом не удовлетворяется достаточное условие сходимости итерационного процесса. Заменяем исходное уравнение равносильным:

.

В этом случае

, .

Параметр находим из условия ê при , т.е. или при . Отсюда . Полагаем, например, . Исходное уравнение преобразуем к виду

,

причем при .

Выбираем произвольное . Пусть , вычисляем . Подставляя в правую часть равенства, получаем и т.д. Вычисления производим до тех пор, пока выполнится неравенство .

Скорость сходимости итерационного процесса определяется неравенством

,

где – точное решение уравнения.

Оценка погрешности метода простой итерации записывается в виде

,

где – заданная точность решения. В частности, при и величина будет приближенным значением корня с точностью до , т.е. .







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 438. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия