Теоретические сведения. где – непрерывная функция

Пусть дано уравнение

, (3.1)

где – непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим заданное уравнение к эквивалентному виду

, (3.2)

где – некоторая непрерывная на отрезке функция.

Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (3.2):

.

Аналогично получаем итерационную последовательность:

;

;

…………..

.

Доказано, что если итерационная последовательность , , ,…, ,… сходится, то её пределом является корень уравнения (3.2), а значит, и корень уравнения (3.1), так как уравнения (3.1) и (3.2) равносильны.

Для сходимости итерационного процесса достаточно исходное уравнение привести к виду так, чтобы выполнялось условие

, (3.3)

где . При этом итерационная последовательность сходится независимо от выбора .

Итерации имеют геометрическую интерпретацию. Решение уравнения (3.2) является абсциссой точки пересечения прямой y = x и кривой y = φ(x). Геометрически видно, что если в окрестности решения выполняются неравенства 0 < φ’(x) ≤ М < 1, то последовательность {x_K} монотонно сходится к , причем с той стороны, с которой расположено начальное приближение (рис. 3.1).

 

Рис. 3.1. Приближение к корню с одной стороны

 

В случае −1 < −M ≤ φ’(x) < 0 последовательные приближения расположены поочередно с разных сторон от решения (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2. Приближение к корню с разных сторон

 

Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, лишь бы функция удовлетворяла условию (3.3). Например, уравнение заменяем равносильным . В этом случае . Параметр выбираем так, чтобы ½ при .

Пример 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , .

Приводим исходное уравнение к виду .В этом случае . Тогда , при .

Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Метод итераций применим для решения полученного уравнения. Выбираем произвольное , например, , и начинаем процесс метода итераций.

Пример 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций.

Единственный корень заданного уравнения находится на отрезке . Рассмотренный в примере 1 способ в данном случае неприменим, так как при этом не удовлетворяется достаточное условие сходимости итерационного процесса. Заменяем исходное уравнение равносильным:

.

В этом случае

, .

Параметр находим из условия ê при , т.е. или при . Отсюда . Полагаем, например, . Исходное уравнение преобразуем к виду

,

причем при .

Выбираем произвольное . Пусть , вычисляем . Подставляя в правую часть равенства, получаем и т.д. Вычисления производим до тех пор, пока выполнится неравенство .

Скорость сходимости итерационного процесса определяется неравенством

,

где – точное решение уравнения.

Оценка погрешности метода простой итерации записывается в виде

,

где – заданная точность решения. В частности, при и величина будет приближенным значением корня с точностью до , т.е. .