Замена переменной – самый общий метод интегрирования

 

Преобладающим методом интегрирования является метод замены переменной под знаком интеграла или, что то же самое, способ подстановки.

Способ подстановки дает возможность интегралы от сложных функций сводить к более простым, а в конечном счете - к табличным интегралам. Для некоторых классов подынтегральных функций можно указать стандартные подстановки, о чем будет сказано в других разделах данного пособия.

Начинать же интегрирование способом подстановки лучше всего с простейших интегралов, приводящихся к виду , где

. Подстановкой интеграл сведётся к интегралу .

 

Иногда удобна подстановка .

Под знаком дифференциала к независимой переменной всегда можно прибавлять произвольное число (нужное нам), т.к. дифференциал суммы есть сумма дифференциалов, и дифференциал константы равен нулю. Например, для интеграла вида можно под знаком дифференциала умножить и разделить на и прибавить . Тогда получим:

где .

После того, как интеграл по новой переменной будет вычислен (взят), в ответе надо перейти к старой переменной, т.е. в полученном решении сделать подстановку (в первом случае) или (во втором). - функция обратная для .

Рассмотрим несколько примеров:

9.

 

-подстановка

 

10.

 

11.

 

 

12.

 

13.

14.

15. В следующем интеграле легко заметить, что , и поэтому

 

16.

 

 

 

Здесь мы выделяем в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат и используем постановку .

 

17.

 

18.

 

Приведенные выше интегралы могут быть вычислены как формальной подстановкой, так и с помощью подведения под знак дифференциала некоторого множителя подынтегральной функции.

Для того, чтобы видеть какую подстановку нужно сделать, следует убедиться, что в подынтегральном выражении можно выделить дифференциал новой переменной. Например, в интеграле не рационально делать подстановку , так как . В числителе же подынтегрального выражения мы имеем только . Подстановка приводит интеграл к табличному.

 

19.

20.

В этом разделе мы рассмотрели простейшие подстановки. В более трудных случаях, чем рассмотреные выше, выбор подстановки не столь очевиден. Однако для некоторых классов подынтегральных функций существуют стандартные подстановки. Об этом мы поговорим ниже, в других разделах.