Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотрим несколько типов интегралов от тригонометрических функций:

1. Интеграл вида ,где m и n – целые числа, в некоторых случаях путем простых тригонометрических преобразований можно свести к табличному.

а) Если хотя бы одно из чисел m или n нечетное и положительное (например, n – нечетное), то рекомендуется подстановка

Отделив от (n – нечетное)один множитель для получения ,оставшуюся четную степень выражаем через по формуле .

Примеры:

36)

37)

б) Пусть теперь m и n четные неотрицательные. В этом случае удобно показатели степеней снизить вдвое, используя известные формулы:

Процесс понижения степеней повторяется до тех пор, пока не получим под знаком интеграла нулевые или нечетные степени , .

38)

39)

 

2. Интегралы вида и

(, целое число) удобно вычислять с помощью следующих подстановок:

и

Выделяем 2-ю степень (или ) и выражаем её через (или через ), постепенно уменьшая степень .

Примеры:

40)

Аналогично берется интеграл

41)

3.. Интегралы вида ,

,

Можно взять, используя следующие формулы:

Пример:

42)

4. ,где - рациональная дробь относительно и . Интегралы подобного типа сводятся с помощью универсальной подстановки к интегралам от обычной рациональной дроби (относительно ) (см. стр. 15 - 22). При этом

Эта подстановка может быть использована при интегрировании любой рациональной дроби относительно и .

Примеры:

43)

44)

Универсальная подстановка обычно приводит к громоздким выкладкам, поэтому,если есть возможность, пользуются некоторыми частными случаями подстановок.

Рассмотрим один такой частный случай.