Где - функция четная относительно и ,т.е. .В этом случае к более простым вычислениям приводит подстановка .

Тогда

;

45)

Интегрирование рациональных функций, содержащих иррациональности

Интегрирование функций, содержащих иррациональности, часто приводит к громоздким вычислениям; кроме того, оно не всегда возможно в конечном виде. Здесь мы рассмотрим только наиболее простые случаи. Подробнее с интегрированием функций, содержащих иррациональности, можно ознакомится в [1],[5] - [8].

Где -рациональная, т.е. содержащая только арифметические действия, функция своих аргументов. Здесь следует сделать подстановку,такую, чтобы корни степени одновременно извлекались (наименьшее общее кратное чисел).

Примеры:

46)

47)

2) Для вычисления интеграла вида используется подстановка .

Пример:

 

48)

Последний интеграл вычисляется с помощью интегрирования по частям .

3) Следующие интегралы берутся с помощью

тригонометрических подстановок

Для подстановка ; для подстановка .

 

Вышеуказанные подстановки легко избавляют подынтегральное выражение от иррациональности. Иногда интегралы этих типов могут быть также взяты и при помощи других подстановок.

Примеры:

49)

50)

Заключение

В пособии рассмотрены основные (простейшие) методы вычисления неопределённых интегралов. Для знакомства с другими методами можно обратиться к рекомендованному списку литературы. Но и в этих книгах нет исчерпывающего набора методов интегрирования. Интегрирование остаётся «искусством» вычисления интегралов.