Интегрирование по частям. Формулой интегрирования по частям

Формулой интегрирования по частям

имеет смысл пользоваться, когда проще чем исходный интеграл . Наиболее целесообразно интегрирование по частям применять при интегрировании следующих функций:

-- трансцендентных, т.е. показательных, логарифмических,

тригонометрических и их попарных произведений;

-- произведений трансцендентных и алгебраических функций.

Следует помнить, что:

1. d x всегда является частью dV;

2. за U рекомендуется принимать функцию, которая при

дифференцировании упрощается и интеграл от которой не

является табличным;

3. за dV, как правило, принимаются легко интегрируемые

функции;

Например, в интегралах типа

(k>0, целое число) за U следует принимать .

В интегралах типа нужно

Положить или

Произвольную постоянную при вычислении V полагаем равной

нулю

4. иногда при вычислении исходного интеграла интегрирование по

частям приходится применять неоднократно;

5. бывают случаи, когда при интегрировании по частям может

оказаться, что . В этом случае

.

Рассмотрим несколько примеров:

21.

22.

23.

 

24.

Иногда необходимо провести интегрирование по частям

несколько раз.

25.

Повторное применение формулы интегрирования по частям к произведению трансцендентных функций может сводить исходный интеграл к самому себе.

26.

Обозначив исходный интеграл через получим

Перенося в левую часть уравнения, приведя подобные члены и разделив на коэффициент при ,получим

 

27.

28.

Интегралы вида

Эти интегралы легко вычисляются, если:

1. в числителе стоит производная квадратного трехчлена

знаменателя, т.е. ;

1. в числителе стоит только постоянная, т.е. .

В первом случае

(1)

(2)

Здесь при вычислении интегралов использована подстановка

Во втором случае интегралы сводятся к одному из табличных

(3)

(4)

(5)

(6)

В общем случае при вычислении указанных интегралов следует:

1. Выделить в числителе производную знаменателя или подкоренного выражения;

2. разбить интеграл на сумму двух, оставляя в числителе подынтегрального выражения первого интеграла выделенную производную;

3. выделить полный квадрат в знаменателе второго интеграла;

4. первый интеграл можно взять используя формулы (1) или (2);

второй – одну из формул (3) - (6).

Рассмотрим несколько примеров:

 

29.

30.