Интегрирование рациональных дробей путем разложения их на сумму простейших дробей

Рациональной дробью называется дробь вида ,где и полиномы степеней m и n –соответственно. Если

m < n, то дробь называется правильной. Во всех остальных случаях – неправильной.

Раскладывать на простейшие слагаемые можно только правильные дроби. Если дробь неправильная, то надо разделить числитель на знаменатель с остатком, и этот остаток раскладывать на сумму простейших дробей (для «целой части» получится сумма степенных функций).

Т.к. знаменатель есть полином n-й степени, то он имеет ровно n корней, среди которых могут быть вещественные (различные и кратные) и комплексно-сопряженные (различные и кратные).

В первом случае полином делится на (для каждого из простых корней ) или на (для каждого из кратных корней; k - кратность корня). Во втором случае полином делится на (для простой пары комплексно- сопряженных корней) или на (для каждой кратной пары комплексно сопряженных корней; l - их кратность).

Поэтому знаменатель можно разложить на множители вышеуказанного вида.

Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей нижеследующего вида:

- для каждого из простых вещественных корней;

- для каждого из кратных вещественных корней;

- для каждой из простых пар комплексно-сопряженных корней;

- для каждой из кратных пар комплексно-сопряженных корней.

Далее следует определить коэффициенты в числителях вышеуказанных разложений. Для этого приравняем и сумму простейших дробей (их количество и вид зависят от корней полинома ). Приведя эту сумму к общему знаменателю, получим равенство двух дробей, у которых равны знаменатели, а, значит, равны и числители. Поскольку числители должны быть равны при всех значениях независимой переменной , должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в ичислителе, получившимся после приведения к общему знаменателю суммы простейших дробей,получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов . Вышеописанный метод носит название Метод неопределенных коэффициентов.

Другой метод определения коэффициентов носит название Метод частных значений. Он заключается в том, что после приравнивания числителей, переменной придают произвольные числовые значения, например значения действительных корней знаменателя (если они есть). Таким образом, также получается необходимое число уравнений для определения коэффициентов .

Если знаменатель раскладываемой дроби имеет как вещественные, так и мнимые корни, то эти способы можно комбинировать.

После вычисления значений коэффициентов остается проинтегрировать получившуюся сумму простейших дробей и записать ответ.

Рассмотрим несколько примеров:

31.

1) Дробь неправильная. Выделим целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель.

__

__

Таким образом

2) Разложим на множители знаменатель дроби

Корни знаменателя вещественные, разные.

3) Разложим выделенную правильную дробь на простейшие

 

 

4) Для определения коэффициентов A, B,C, приравняем числители двух равных дробей (рассматриваемой правильной дроби и суммы простейших дробей после приведения её к общему знаменателю)

Вычислить коэффициенты A, B,C, здесь удобнее методом частных значений. Полагая в последнем выражении последовательно ,получим

 

Окончательно получаем

32)

Это дробь правильная. Корни знаменателя вещественные, среди них есть кратные (). Поэтому

Приводим сумму простейших дробей к общему знаменателю и приравниваем числители получившихся дробей

Коэффициенты и найдем методом частных значений, используя вещественные корни знаменателя и ,остальные коэффициенты найдем методом неопределённых коэффициентов.

,

Итак

33)

Здесь знаменатель подынтегральной функции имеет комплексные корни. Напомним, что каждому неповторяющемуся квадратичному множителю вида ,содержащемуся в знаменателе будет соответствовать простейшая дробь вида . То есть:

Аналогично получаем

34)

 

35)

Более подробную информацию об интегрировании простейших дробей можно получить в книгах [1], [6], [7] и [8].