Использование параметров для поиска оптимального f

Теперь, когда найдены наиболее подходящие значения параметров распределе­ния, рассчитаем оптимальное f для этого распределения. Мы можем применить процедуру, которая была использована в предыдущей главе для поиска оптимального f при нормальном распределении. Единственное отличие состоит в том, что вероятности для каждого стандартного значения (значения X) рассчитываются с помощью уравнений (4.06) и (4.12). При нормальном распределении мы находим столбец ассоциированных вероятностей (вероятностей, соответствующих опре­деленному стандартному значению), используя уравнение (3.21). В нашем случае, чтобы найти ассоциированные вероятности, следует выполнить процедуру, де­тально описанную ранее:

1. Для данного стандартного значения Х рассчитайте его соответствующее N'(X) с помощью уравнения (4.06).

2. Для каждого стандартного значения Х рассчитайте накопленную сумму зна­чений N'(X), соответствующих всем предыдущим X.

3. Теперь, чтобы найти N(X), т.е. итоговую вероятность для данного X, прибавьте текущую сумму, соответствующую значению X, к текущей сумме, соответствующей предыдущему значению X. Разделите полу­ченную величину на 2. Затем разделите полученное частное на общую сумму всех N'(X), т.е. последнее число в столбце текущих сумм. Это но­вое частное является ассоциированной 1-хвостой вероятностью для данного X.

Так как теперь у нас есть метод поиска ассоциированных вероятностей для стан­дартных значений Х при данном наборе значений параметров, мы можем найти оптимальное f. Процедура в точности совпадает с той, которая применяется для поиска оптимального f при нормальном распределении. Единственное отличие состоит в том, что мы рассчитываем столбец ассоциированных вероятностей дру­гим способом. В нашем примере с 232 сделками значения параметров, которые получа­ются при самом низком значении статистики К-С, составляют 0,02, 2,76, О и 1,78 для LOC, SCALE, SKEW и KURT соответственно. Мы получили эти значения параметров, используя процедуру оптимизации, описанную в дан­ной главе. Статистика К-С == 0,0835529 (это означает, что в своей наихудшей точке два распределения удалены на 8,35529%) при уровне значимости 7,8384%. Рисунок 4-10 показывает функцию распределения для тех значений параметров, которые наилучшим образом подходят для наших 232 сделок. Если мы возьмем полученные параметры и найдем оптимальное f по это­му распределению, ограничивая распределение +3 и -3 сигма, используя 100 равноотстоящих точек данных, то получим f= 0,206, или 1 контракт на каж­дые 23 783,17 доллара. Сравните это с эмпирическим методом, который покажет, что оптимальный рост достигается при 1 контракте на каждые 7918,04 доллара на балансе счета. Этот результат мы получаем, если ограничиваем распределение 3 сигма с каж­дой стороны от среднего. В действительности, в эмпирическом потоке сделок у нас был проигрыш наихудшего случая 2,96 сигма и выигрыш наилучшего случая 6,94 сигма. Теперь, если мы вернемся и ограничим распределение 2,96 сигма слева от среднего и 6,94 сигма справа (и на этот раз будем использовать 300 равноотсто­ящих точек данных), то получим оптимальное f = 0,954, или 1 контракт на каждые 5062,71 доллара на балансе счета. Почему оно отличается от эмпирического опти­мального f= 7918,04?

Проблема состоит в «грубости» фактического распределения. Вспомни­те, что уровень значимости наших наилучшим образом подходящих парамет­ров был только 7,8384%. Давайте возьмем распределение 232 сделок и помес­тим в 12 ячеек от -3 до +3 сигма.

 

Ячейки	Количество сделок
-3,0	-2,5
-2,5	-2,0
-2,0	-1,5
-1,5	-1,0
-1,0	-0,5
,sr„. -0,5	0,0
ь -' 0,0	0,5
0,5	1,0
1,0	1,5
1,5	2,0
2,0	2,5
2,5	3,0

 

Отметьте, что на хвостах распределения находятся пробелы, т.е. области, или ячейки, где нет эмпирических данных. Эти области сглаживаются, когда мы приспосабливаем наше регулируемое распределение к данным, и именно эти сглаженные области вызывают различие между параметрическим и эмпири­ческим оптимальным f. Почему же наше характеристическое распределение при всех возможностях регулировки его формы не очень хорошо приближено к фактическому распределению? Причина состоит в том, что наблюдаемое распределение имеет слишком много точек перегиба. Параболу можно направить ветвями вверх или вниз. Однако вдоль всей параболы направление вогнутости или выпуклости не изменяется. В точке перегиба направление вогнутости изменяется. Парабола имеет 0 точек перегиба,

Рисунок 4-10 Регулируемое распределение для 232 сделок

Рисунок 4-11 Точки перегиба колоколообразного распределения

 

так как направление вогнутости никогда не изменяется. Объект, имеющий форму буквы S, лежащий на боку, имеет одну точку перегиба, т.е. точку, где вогну­тость изменяется. Рисунок 4-11 показывает нормальное распределение. Отметьте, что в колоколообразной кривой, такой как нормальное распределение, есть две точ­ки перегиба. В зависимости от значения SCALE наше регулируемое распре­деление может иметь ноль точек перегиба (если SCALE очень низкое) или две точки перегиба. Причина, по которой наше регулируемое распределение не очень хорошо описывает фактическое распределение сделок, состоит в том, что реальное распределение имеет слишком много точек перегиба. Означает ли это, что полученное характеристическое распределение не­верно? Скорее всего нет. При желании мы могли бы создать функцию рас­пределения, которая имела бы больше двух точек перегиба. Такую функцию можно было бы лучше подогнать к реальному распределению. Если бы мы создали функцию распределения, которая допускает неограниченное коли­чество точек перегиба, то мы бы точно подогнали ее к наблюдаемому распре­делению. Оптимальное f, полученное с помощью такой кривой, практически совпало бы с эмпирическим. Однако чем больше точек перегиба нам при­шлось бы добавить к функции распределения, тем менее надежной она была бы (т.е. она хуже представляла бы будущие сделки). Мы не пытаемся в точности подогнать параметрическое ik наблюдаемому, а ста­раемся лишь определить, как распределяются наблюдаемые данные, чтобы можно было предсказать с большой уверенностью будущее оптимальное 1(если данные бу­дут распределены так же, как в прошлом). В регулируемом распределении, подо­гнанном к реальным сделкам, удалены ложные точки перегиба.

Поясним вышесказанное на примере. Предположим, мы используем дос­ку Галтона. Мы знаем, что асимптотически распределение шариков, падаю­щих через доску, будет нормальным. Однако мы собираемся бросить только 4 шарика. Можем ли мы ожидать, что результаты бросков 4 шариков будут рас­пределены нормально? Как насчет 5 шариков? 50 шариков? В асимптотическом смысле мы ожидаем, что наблюдаемое распределение будет ближе к нормальному при увеличении числа сделок. Подгонка теорети­ческого распределения к каждой точке перегиба наблюдаемого распределения не даст нам большую степень точности в будущем. При большом количестве сде­лок мы можем ожидать, что наблюдаемое распределение будет сходиться с ожидае­мым и многие точки перегиба будут заполнены сделками, когда их число стремится к бесконечности. Если наши теоретические параметры точно отражают распределение реальных сделок, то оптимальное f, полученное на основе теоретического распреде­ления, при будущей последовательности сделок будет точнее, чем оптимальное f, рассчитанное эмпирически из прошлых сделок. Другими словами, если наши 232 сделки представляют распределение сделок в будущем, тогда мы можем ожидать, что распределение сделок в будущем будет ближе к нашему «настроенному» теоретическому распределению, чем к наблюдаемому, с его многочисленными точками перегиба и «зашумленностью» из-за конечного количества сделок. Таким образом, мы можем ожидать, что буду­щее оптимальное f будет больше похоже на оптимальное f, полученное из теоре­тического распределения, чем на оптимальное f, полученное эмпирически из на­блюдаемого распределения.

Итак, лучше всего в этом случае использовать не эмпирическое, а пара­метрическое оптимальное f. Ситуация аналогична рассмотренному случаю с 20 бросками монеты в предыдущей главе. Если мы ожидаем 60% выигрышей в игре 1:1, то оптимальное f= 0,2. Однако если бы у нас были только эмпири­ческие данные о последних 20 бросках, 11 из которых были выигрышными, наше оптимальное f составило бы 0,1. Мы исходим из того, что параметрическое оптимальное f ($5062,71 в этом случае) верно, так как оно оптимально для функ­ции, которая «генерирует» сделки. Как и в случае только что упомянутой игры с броском монеты, мы допускаем, что оптимальное f для следующей сделки опре­деляется параметрической генерирующей функцией, даже если параметрическое f отличается от эмпирического оптимального f.

Очевидно, что ограничительные параметры оказывают большое влияние на оптимальное f. Каким образом выбирать эти ограничительные парамет­ры? Посмотрим, что происходит, когда мы отодвигаем верхнюю границу. Следующая таблица составлена для нижнего предела 3 сигма с использова­нием 100 равноотстоящих точек данных и оптимальных параметров для 232 сделок:

 

Верхняя граница	f	f$
3 Sigmas	0,206	$23783,17
4 Sigmas	0,588	$8332,51
5 Sigmas	0,784	$6249,42
6 Sigmas	0,887	$5523,73
7 Sigmas	0,938	$5223,41
8 Sigmas * * *	0,963 * * *	$5087,81 * * *
100 Sigmas	0,999	$4904,46

 

Отметьте, что при постоянной нижней границе, чем выше мы отодвигаем верхнюю границу, тем ближе оптимальное f к 1. Таким образом, чем больше мы отодвигаем верхнюю границу, тем ближе оптимальное f в долларах будет к нижней границе (ожи­даемый проигрыш худшего случая). В том случае, когда наша нижняя граница нахо­дится на -3 сигма, чем больше мы отодвигаем верхнюю границу, тем ближе в пределе оптимальное f в долларах будет к нижней границе, т.е. к $330,13 -(1743,23 * 3) = = -$4899,56. Посмотрите, что происходит, когда верхняя граница не меняется (3 сигма), а мы отодвигаем нижнюю границу Достаточно быстро арифметическое математи­ческое ожидание такого процесса оказывается отрицательным. Это происходит потому, что более 50% площади под характеристической функцией находится слева от вертикальной оси. Следовательно, когда мы отодвигаем нижний ограни­чительный параметр, оптимальное f стремится к нулю. Теперь посмотрим, что произойдет, если мы одновременно начнем отодвигать оба ограничительных параметра. Здесь мы используем набор оптимальных пара­метров 0,02, 2,76, 0 и 1,78 для распределения 232 сделок и 100 равноотстоящих точек данных:

 

Верхняя и нижняя граница	F f$
3 Sigmas	0,206	$23783,17
4 Sigmas	0,158	$42 040,42
5 Sigmas	0,126	$66 550,75
6 Sigmas	0,104	$97 387,87
* * *	* * *	* * *
100 Sigmas	0,053	$322625,17

 

Отметьте, что оптимальное f приближается к 0, когда мы отодвигаем оба ограни­чительных параметра. Более того, так как проигрыш наихудшего случая увеличи­вается и делится на все меньшее оптимальное f, наше f$, т.е. сумма финансирова­ния 1 единицы, также приближается к бесконечности.

Проблему наилучшего выбора ограничительных параметров можно сфор­мулировать в виде вопроса: где могут произойти в будущем наилучшие и наи­худшие сделки (когда мы будем торговать в этой рыночной системе)? Хвосты распределения в действительности стремятся к плюс и минус бесконечности, и нам следует финансировать каждый контракт на бесконечно большую сум­му (как в последнем примере, где мы раздвигали обе границы). Конечно, если мы собираемся торговать бесконечно долгое время, наше оптимальное f в долларах будет бесконечно большим. Но мы не собираемся торговать в этой рыночной системе вечно. Оптимальное f, при котором мы собираемся торговать в этой рыночной системе, является функцией предполагаемых наилучших и наи­худших сделок. Вспомните, если мы бросим монету 100 раз и запишем, какой будет самая длинная полоса решек подряд, а затем бросим монету еще 100 раз, то полоса ре­шек после 200 бросков будет скорее всего больше, чем после 100 бросков. Таким же образом, если проигрыш наихудшего случая за нашу историю 232 сделок равнялся 2,96 сигма (для удобства возьмем 3 сигма), тогда в будущем мы должны ожидать проигрыш больше 3 сигма. Поэтому вместо того, чтобы ограничить наше распределение прошлой историей сделок (-2,96 и +6,94 сигма), мы огра­ничим его -4 и +6,94 сигма. Нам, вероятно, следует ожидать, что в будущем именно верхняя, а не нижняя граница будет нарушена. Однако это обстоятель­ство мы не будем принимать в расчет по нескольким причинам. Первая состоит в том, что торговые системы в будущем ухудшают свою результативность по сравнению с работой на исторических данных, даже если они не используют оп­тимизируемых параметров. Все сводится к принципу, что эффективность меха­нических торговых систем постепенно снижается. Во-вторых, тот факт, что мы платим меньшую цену за ошибку в оптимальном f при смещении влево, а не вправо от пика кривой f, предполагает, что следует быть более консервативными в прогнозах на будущее. Мы будем рассчитывать параметрическое оптимальное f при ограничи­тельных параметрах -4 и +6,94 сигма, используя 300 равноотстоящих точек данных. Однако при расчете вероятностей для каждой из 300 равноотстоя­щих ячеек данных важно, чтобы мы рассмотрели распределение на 2 сигмы до и после выбранных ограничительных параметров. Поэтому мы будем оп­ределять ассоциированные вероятности, используя ячейки в интервале от -6 до +8,94 сигма, даже если реальный интервал -4 — +6,94 сигма. Таким образом, мы увеличим точность результатов. Использование оптимальных параметров 0,02, 2,76, 0 и 1,78 теперь даст нам оптимальное f =0,837, или 1 контракт на каждые 7936,41 доллара. Пока ограничительные параметры не нарушаются, наша модель точна для выбранных границ. Пока мы не ожидаем проигрыша больше 4 сигма ($330,13 -(1743,23 * 4) =-$6642,79) или прибыли больше 6,94 сигма ($330,13 + + (1743,23 * 6,94) = $12 428,15), можно считать, что границы распределения бу­дущих сделок выбраны точно. Возможное расхождение между созданной моделью и реальным распределе­нием является слабым местом такого подхода, то есть оптимальное f, полученное из модели, не обязательно будет оптимальным. Если наши выбранные параметры будут нарушены в будущем, f может перестать быть оптимальным. Этот недоста­ток можно устранить с помощью опционов, которые позволяют ограничить воз­можный проигрыш заданной суммой. Коль скоро мы обсуждаем слабость данного метода, необходимо указать на последний его недостаток. Следует иметь в виду, что реальное распределение торговых прибылей и убытков является распределением, где параметры по­стоянно изменяются, хотя и медленно. Следует периодически повторять на­стройку по торговым прибылям и убыткам рыночной системы, чтобы отслежи­вать эту динамику.

Проведение тестов «что если»

После того как найдено параметрическое оптимальное f, можно реализовывать сценарии «что если» с помощью полученной функции распределения. Для этого нужно варьировать параметры функции распределения LOC, SCALE, SKEW и KURT для моделирования различных ожидаемых результатов (различных рас­пределений, которые могут быть в будущем). Мы знаем, как применять проце­дуру растяжения и сжатия в нормальном распределении, и похожим образом можем работать с параметрами LOC, SCALE, SKEW и KURT регулируемого распределения.

Рисунок 4-12 Изменение параметра расположения распределения

Сценарии «что если» при параметрическом подходе помогают смоделировать из­менения фактического распределения торговых P&L. Параметрические методы позволяют увидеть воздействие изменений на распределение фактических торго­вых прибылей и убытков до того, как они произойдут.

Когда вы работаете с параметрами, следует помнить о важной детали. При поис­ке оптимального f вместо того, чтобы изменять LOC, т.е. расположение распределе­ния, лучше изменять долларовую арифметическую среднюю сделку, используемую в качестве входного данного. Это видно из рисунка 4-12. Отметьте (см. рисунок 4-12), что изменение параметра расположения LOC передвигает распределение вправо или влево в «окне» ограничительных пара­метров, но сами ограничительные параметры при этом не двигаются. Таким образом, изменение параметра LOC также затрагивает количество равноотсто­ящих точек данных слева и справа от моды распределения. Если изменить фактическое среднее арифметическое (или использовать переменную сжатия при поиске f в нормальном распределении), «окно» ограничительных пара­метров передвинется. Когда вы изменяете арифметическую среднюю сделку или изменяете переменную сжатия в механизме нормального распределения, у вас остается то же число равноотстоящих точек данных справа и слева от моды распределения.