Логические функции. Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(Х1, Х2, Хn),аргументами которой являются логические переменные Х1

Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(Х1, Х2, …Хn),аргументами которой являются логические переменные Х1, Х2,… Хn (простые высказывания). Сама функция и аргументы могут принимать только два различных значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора значений аргументов. По формуле количества информации мы можем определить, какое количество различных логических функций может существовать:

N = 2⁴ = 16

Таблицы истинности логических функций двух аргументов

Аргу-мен- ты

Логические функции

А

В

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

F16

Исходя из значений логических функций F1…F16 в таблице истинности, можно эти функции синтезировать.

1. F1 = А * А = В * В

Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

 

Таблица истинности F1

А	В	А	В	F1

2. F2 = A * B

Таблица истинности F1

А	В	А * B

3. F3 = A * B

Таблица истинности F3

А	В	B	A * В

4. F4 = A

Таблица истинности F4

А	В	F4 = A

5. F5 = B * A

Таблица истинности F5

А	В	A	B * A

6. F6 = B

Таблица истинности F6

А	В	F6 = B

7. F7 = (A * В) v (B * A)

Таблица истинности F7

А	В	A	В	А * В	B * A	(А * В) v (B * A)

8.

8. F8 = A v B

Таблица истинности F8

А	В	Av B

9. F9 = A v B

Таблица истинности F9

А	В	Av B	Av B

10. F10 = (А * В) v (B * A) F10 = F7

Таблица истинности F10

А	В	A	В	А * В	B * A	(А * В) v (B * A)	(А * В) v (B * A)

Логическое равенство (эквивалентность). Составное высказывание, обозначенное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны, обозначается «А – В». Исходя из этого,можно сказать,что F10 является функцией эквивалентности и запишется так: F10 = A - B, а её таблица истинности будет иметь следующий вид:

Таблица истинности логической функции эквивалентности

А	В	А - В

 

11. F11 = B

Таблица истинности F11

А	В	В

 

12. F12 = F5 =B * A

Таблица истинности F12

 

А	В	A	B * A	B * A

 

13. F13 = F4 = A

 

Таблица истинности F13

 

А	В	A

 

14. F14 = F3 = A * B

Таблица истинности F14

А	В	B	A * В	A * В

 

В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «И», «ИЛИ», «НЕ» используются и некоторые другие: «ЕСЛИ…, ТО», «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…» и другие. Некоторые из них имеют своё название и свой символ, и им соответствуют определённые логические функции.

Логическое следование (импликация). Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ…, ТО…».

Логическая операция импликация «если А, то В», обозначается А В и выражается с помощью логической функции F14, которая задаётся соответствующей таблицей истинности.

 

 

Таблица истинности логической функции импликация

А	В	А В

 

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликация) ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

15. F15 = A * B

Таблица истинности F15

 

А	В	A * B	A * В

16. F16 = A * A = B * B

Таблица истинности F16

А	В	A	A * A	A * A