Арифметическими операциями

Рассмотрим теоремы, отражающие свойства сходящихся последовательностей и облегчающие нахождение пределов.

Теорема 1. Если последовательности и имеют конечные пределы (, ), то:

1) их сумма (разность) также имеет конечный предел, причем ;

2) произведение их также имеет конечный предел, причем ;

3) отношение их также имеет конечный предел, причем .

■ Так как существуют и , то , , где и – бесконечно малые. Тогда . В этом равенстве – бесконечно малая по свойству бесконечно малых. Следовательно, .

Рассмотрим . В силу следствий из теоремы 8 выражение, стоящее в скобках, есть бесконечно малая; следовательно, .

Для доказательства 3) рассмотрим разность

.

Выражение в скобках есть бесконечно малая в силу следствий из теоремы 8. Так как , то, начиная с некоторого номера , где C – некоторое число. Тогда , начиная с некоторого номера. Следовательно, произведение будет бесконечно малым, а оно является разностью между переменной и числом . Значит, .■

Теорема 2. Если для последовательностей и для всех n и , , где a и b конечны, то .

■ Предположим, что . Возьмем число c так, что . Тогда существует такой номер , что ; с другой стороны, существует такой номер , что . Выберем . Тогда для одновременно выполняются оба неравенства , , откуда для . Полученное противоречие и доказывает теорему. ■

Теорема 3 (предел промежуточной последовательности). Если для последовательностей , , при всех n выполнены неравенства и , то .

■ Так как , то для любого произвольного существуют такие номера и , что

для , для .

Тогда для и

при , то есть

при , откуда следует, что . ■