И бесконечно больших последовательностей

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей сформулируем в виде теорем.

Теорема 3. Сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

■ Докажем утверждение для двух бесконечно малых последовательностей (общий случай показывается аналогично).

Пусть и – бесконечно малые. Зададим произвольное число . По определению бесконечно малой существует номер , начиная с которого , и , начиная с которого . Обозначим . Тогда при одновременно выполняются оба неравенства, так что . Следовательно, – бесконечно малая последовательность. ■

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая.

■ Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Следовательно, . Выберем произвольное число . Тогда по числу для найдется такой номер N, что при . Тогда для тех же значений n . Это и означает, что – бесконечно малая. ■

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянную есть бесконечно малая.

Теорема 5. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность.

■ Пусть и – бесконечно большие последовательности, для которых , . По определению бесконечно большой последовательности для любого сколь угодно большого существуют такие номера и , что и . Тогда для , где .

Последнее и означает, что – бесконечно большая последовательность. ■

Теорема 6. Произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.