П. 8. Смешанное произведение векторов

Язычество - (от церк.-слав. языцы - народы, иноземцы), в широком смысле обозначение в литературе христианских народов нехристианских, -политеистических религий.

Языческие боги олицетворяли стихии природы: громовержцы, боги неба (древнегреческий Зевс, индийский Индра, кельтский Таранас, скандинавский Тор, балтийский Перкунас, славянский Перун); боги солнца (древнегреческий Гелиос, египетский Ра, славянский Дажбог); боги вод (древнегреческий Нептун, индийский Варуна) и т. п. Наряду с ними почитались низшие демоны, духи лесов, источников - нимфы, дриады, леший, водяной и т. п.

Суть языческих культов - магическое воздействие на природу через поклонение богам, олицетворяющих соответствующую стихию. Циклы постоянного возрождения природы, биологической и хозяйственной жизни коллектива (рода, общины) в представлении язычников были взаимосвязаны. Поэтому "календарные" сельскохозяйственные праздники включали также "семейные" торжества - свадебные обряды, пиршества и т. п.

Языческие (античные и др.) культы сменялись т. н. мировыми религиями (см. Христианство, Ислам, Буддизм).

В Киевской Руси попытка князя Владимира Святославича создать общегосударственный языческий пантеон (980) не удалась, что привело к крещению Руси в 988-989. Центрами новой религии стали города, в деревнях (по археологическим данным) языческий обряд погребения под курганами сменился христианским к 13 в.

Языческие боги в народных верованиях персонифицировались христианскими святыми (Перун - Ильей Пророком, Велес, покровитель скота - Власием и т. д.), но сохранилась вера в домовых, леших и т. п.

Язычество было вытеснено официальной религией в область народной культуры: соблюдение христианской обрядности (церковные службы, посты и т.п.) сочеталось с общинным отправлением аграрных культов, участием в пирах и игрищах, с которыми боролись средневековые церковники, объявлявшие также языческими и различные формы искусства и народного творчества.

С другой стороны, церковь включила в число христианских главные языческие праздники, чтобы подчинить своему влиянию общинные культы, например, Масленица, Карнавал. Сложившееся таким образом "двоеверие" сохранялось до начала 20 в.

Фактически на каждом континенте есть различные языческие верования, они наиболее сильны там, где меньше всего присутствует цивилизация. Например, китайские местные верования распространены главным образом в слабо освоенных западных районах (более 220 млн. человек).

П. 8. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов называется число, равное .

Геометрический смысл смешанного произведения

по определению = Пр .

, а - площадь параллелограмма, построенного на векторах

и . Вектор поопределению векторного произведенияперпендикулярен к векторам и , следовательно, перпендикулярен плоскости параллелограмма. Построим на векторах параллелепипед. Тогда Пр - это высота данного параллелепипеда: Пр = h.

Из всего вышесказанного получили, что = V – объем параллелепипеда, причем , если образуют правую тройку (h > 0), и , если левую (h < 0). В связи с чем, правильнее писать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах равен

. (1)

Свойства смешанного произведения.

1.

При циклической перестановке множителей смешанное произведение не изменяется.

Данное свойство позволяет ввести новое обозначение смешанного произведения: , так как результат не зависит, как расставляются скобки.

2. Условие компланарности трех векторов:

компланарные векторы. (2)

Т.е. параллелепипед вырождается в часть плоскости с нулевым объемом.

3. образуют базис во множестве векторов. (3)