Указания. В зависимости от варианта задачи уравнение Пуассона следует записать в декартовой или цилиндрической системе координат.

В зависимости от варианта задачи уравнение Пуассона следует записать в декартовой или цилиндрической системе координат.

В декартовой системе координат:

.

В цилиндрической системе координат:

,

где - цилиндрические координаты точки.

При рациональном выборе начала координат и направлении координатных осей эти уравнения в рассматриваемых задачах существенно упрощаются. Например, если в цилиндрическом конденсаторе ось направлена вдоль оси конденсатора, то с учетом допущения имеем:

; .

Уравнение Пуассона в цилиндрических координатах принимает вид

.

Интегрирование такого уравнения не представляет затруднений.

Постоянные интегрирования определяются из заданных граничных условий.

 

Пример 1. Дан плоский конденсатор с равномерно распределенным объемным зарядом между обкладками. Расстояние между обкладками равно (рис. 1.2). Конденсатор замкнут накоротко.

Пренебрегая краевым эффектом, найти потенциал и напряженность в точках, лежащих между обкладками.

Рис. 1.2

 

Расположим оси координат, как показано на рис. 1.2. Уравнение Пуассона в декартовой системе координат примет вид

.

Интегрируя это уравнение, находим

.

Здесь и - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Так как конденсатор замкнут накоротко, потенциал левой и правой обкладок одинаков. Можно положить их равными нулю. При этом граничные условия формулируются в виде соотношений

; .

Используя их, получаем

; .

Таким образом, потенциал точки с координатой

.

Напряженность находим, учитывая, что в рассматриваемой задаче при указанном расположении координатных осей

; .

Таким образом,

.