Стоячие волны.

Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна. Пусть падающая волна описывается уравнением (16), а отраженная – уравнением (17).

Сложениеэтих двух волн дает Y = y₁ + y₂:

 

Y = 2A cosωt cos (26)

 

Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:

 

Y = 2A cosωt, (27)

 

где множитель

 

A₀ = (28)

 

является амплитудой стоячей волны. Как видноиз выражения (28), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).

Примечание 4 Проделаем необходимые преобразования для определения суммарной волны.

Y = A[sin ω(t – x/v) + sin ω(t + x/v)] =

= 2Acos[ω/2(t – x/v – t - x/v)] sin[ω/2(t – x/v + t + x/v)] = 2Acos(-ωx/v) sin ωt = = 2Acos(ωx/v) sin ωt.

Или Y = A₀sin ωt, где A₀ = 2Acos(ωx/v).

 

Множитель sin ωt показывает, что в точках среды возникает колебание с той же частотой, что и колебания встречных волн. Так как функция - может принимать значения от 0 до 1, то амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты точки может принимать значения (А₀): от 0 до 2.

Точки стоячей волны, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами, а точки, в которых она максимальна, называют пучностями. Координаты пучностей стоячей волны можно определитьизравенства

или

 

тогда (29)

где k = 0, 1, 2,....

Координаты узлов определяютсяиз равенства

Или ,

откуда следует

x= (30)

Из выражений (29) и (30) следует, что расстояние между соседними узлами (или между соседними пучностями) равно , а расстояние между ближайшими узлом и пучностью равно (рисунок- 3). Уравнение (27) показывает, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между данными волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180^о. Кривые 1 и 5, приведенные на рисунок 3, соответствуют максимальному отклонению частиц от положения равновесия в моменты времени, отличающиеся на половину периода. В другие моменты времени кривая отклонения частиц будет располагаться между этими двумя.

 

 

Рис. 3

 

При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину . Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел. В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.

В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.

В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Стоячие волны различной природы (упругие, электромагнитные) проявляются во многих физических явлениях (например, колебания струн музыкальных инструментов, камертонов, колебания электрического тока в вибраторах антенн, голография).

Если плоская звуковая волна распространяется вдоль оси цилиндра в столбе воздуха, ограниченном его стенками и поршнем (рисунок 4), то в результате сложения падающей и отраженной от поршня волн образуется стоячая волна. Вследствие разности акустических сопротивлений поршня и воздуха на границе с поршнем будет находиться узел стоячей волны. На открытом же конце цилиндра будет находиться пучность.

 

Рис. 4

В этом случае в цилиндре могут установиться лишь такие стоячие колебания, при которых на длине столба L укладывается нечетное число четвертей длин волн, т.е. выполняется условие:

(31)

где n - любое целое число (n ≠ 0).

Из этого условия можно выразить длину волны

(32)

или частоту колебаний

(33)

 

Возникающие колебания частотами, удовлетворяющими условию (33), называются собственными колебаниями системы. Колебания с наименьшей частотой называют основным тоном, а остальные, с частотами 3 _o, 5 _o, 7 _o, … - обертонами.

Если частота фиксирована, то устойчивых колебаний можно добиться, изменяя L путем перемещения поршня и добиваясь таким образом выполнения условия (30). Расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых возникают устойчивые колебания, равно . На эту величину отличаются и соответствующие длины столбов воздуха в трубе.