Взвод у розгорнутому строю

Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 683

Одного уравнения теплопроводности недостаточно для нахождения температурного поля конкретного тела при заданных внешних условиях. Так, для определения вида оператора Лапласа Ñ2 необходимо знать форму тела и соответствующим образом выбрать систему координат. Кроме того, прежде чем решать уравнение теплопроводности, требуется установить наличие или отсутствие внутреннего источника тепла и характер величины qИ его удельной мощности (является ли она постоянной или зависит от времени, координат, температуры). Уравнение теплопроводности, а следовательно, и его решение, содержит параметр, характеризующий теплофизические свойства материала (в стационарном режиме при наличии внутреннего источника тепла – коэффициент теплопроводности l, в нестационарном режиме – коэффициент температуропроводности а). Таким образом, возникает необходимость задания теплофизических характеристик.

После того как все перечисленные величины заданы, уравнение теплопроводности приобретает определенный вид. Однако, как и любое дифференциальное уравнение, оно имеет бесконечное множество решений, среди которых только одно частное решение описывает искомое температурное поле. Общее решение дифференциального уравнения содержит произвольные постоянные интегрирования. Для определения этих постоянных необходимо задать дополнительные условия (значение температуры или ее градиента на поверхности или других точках тела – так называемые граничные условия) в случае стационарного температурного поля. Если же температурное поле не стационарно (уравнение теплопроводности содержит частную производную ¶Т/¶t), то требуется также знать распределение температуры внутри тела в определенный (начальный) момент времени – начальные условия.

Таким образом, для решения конкретной задачи необходимо знать условия однозначности – совокупность данных, включающих в себя:

1) геометрическую форму и размеры тела;

2) наличие и характер действия внутреннего источника тепла;

3) теплофизические свойства материала;

4) граничные условия;

5) начальные условия.

Геометрическая форма и размеры тела

При задании геометрической формы тела следует по возможности свести ее к одной из канонических форм: неограниченной пластине, неограниченному цилиндру или к шару. Во всех этих случаях температурное поле, как правило, является одномерным, что существенно упрощает решение задачи.

Неограниченной пластине (рис. 3.3а) может быть уподоблено практически любое тело, один из линейных размеров которого (толщина) намного меньше двух других.

а

б

Рис. 3.3. Примеры тел, которые могут быть

уподоблены неограниченной пластине

Форма изотермической поверхности не обязательно должна быть плоской; важно, чтобы минимальный радиус ее кривизны был намного больше толщины тела h, в этом случае стенки приближенно могут рассматриваться как плоские.

Протяженное в одном направлении тело, боковая поверхность которого хорошо теплоизолирована, а площадь поперечного сечения примерно одинакова по длине, можно также рассматривать как неограниченную пластину толщиной, равной длине тела h (рис. 3.3б). Независимо от формы поперечного сечения, тепловой поток в таком теле распространяется в одном направлении – от одного торца к другому. В теории теплопроводности подобные тела называются ограниченным стержнем с тепловой изоляцией.

Тело, у которого один из линейных размеров намного больше двух других, близких друг другу, а оба торца находятся примерно в одинаковых условиях, можно уподобить неограниченному цилиндру (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Примеры тел, которые могут быть уподоблены

неограниченному цилиндру

Ось цилиндра не обязательно должна быть прямой, но ее минимальный радиус кривизны должен быть намного больше поперечного размера (радиуса R).

Если поперечное сечение не является кругом, то необходимо найти так называемый эффективный радиус. При определении его возможны два подхода. В том случае, когда для решения задачи важно, чтобы объем реального тела был равен объему эффективного цилиндра, площади поперечного сечения тела и цилиндра приравнивают:

S_п.с.т = ,

откуда

R_эф= . (3.27)

Если же определяющую роль в задаче играет теплообмен боковой поверхности, то приравнивают друг другу периметры поперечного сечения тела и эффективного цилиндра

П_с.т = 2p R_эф,

откуда

R_эф = . (3.28)

Когда размеры тела во всех трех направлениях примерно одинаковы, его можно приближенно считать шаром. Эффективный радиус определяют, приравнивая объемы реального тела и эффективной сферы:

V_т = ,

откуда

R_эф= (3.29)

либо, если важен теплообмен через поверхность тела, приравнивают площади боковых поверхностей:

S_т = 4p ,

откуда

R_эф= . (3.30)

Источники тепла

Если тепло выделяется (или поглощается) во всем объеме тела, то количественной характеристикой источника является его удельная (или объемная) мощность:

; (3.31)

Например, гомогенная химическая реакция q_Иv может быть как постоянной, так и функцией времени, координат, температуры.

В гетерогенных системах, имеющих поверхность раздела фаз, могут иметь место источники, распределенные по поверхности S (выделяемая или поглощаемая теплота фазового перехода, теплота химической реакции, происходящей на поверхности катализатора). Такие источники характеризуются поверхностной мощностью:

; (3.32)

и их действие по своему физическому смыслу совпадает с абсолютной величиной плотности теплового потока. Если выделение тепла происходит на внешней поверхности тела, то его следует учитывать не в уравнении теплопроводности, а в граничных условиях (ГУ второго рода).

Действие источника тепла может происходить вдоль линии L (например, проводник с током); в этом случае источник характеризуется линейной мощностью:

; (3.33)