Пересечение многогранников плоскостью

 

Линией пересечения многогранника плоскостью в общем случае будет плоский многоугольник. Такой многоугольник может быть построен или по точкам пересечения с секущей плоскостью ребер многогранника или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью, т.е. задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей.

Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением. Многоугольник сечения может вырождаться в прямые линии и точки. Число сторон многоугольника сечения равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью.

В зависимости от направления и положения секущей плоскости сечением куба может быть: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник, как это показано на рисунке 5.5.

Если секущая плоскость будет параллельна плоскости проекций, то фигура сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения – в натуральную величину.

 

Рис. 5.5. Возможные сечения призмы

 

Во всех других случаях натуральный вид сечения определяется любым из способов, которые позволяют определить натуральную величину плоской фигуры.

Задача: Построить проекции и натуральную величину сечения пирамиды SABCD, пересеченной фронтально-проецирующей плоскостью Q ( рис.5.6).

Рис. 5.6. Построение многоугольника сечения и определение его натуральной величины

 

Решение:

Здесь многоугольник сечения определяется по точкам пересечения ребер пирамиды с плоскостью Q.

Фронтальная проекция сечения (1_V2_V3_V4_V) вырождается в прямую линию, совпадающую со следом Q_V проецирующей плоскости Q. Горизонтальные проекции вершин многоугольника сечения находятся по их известным фронтальным проекциям на пересечении линий связи с соответствующими проекциями ребер пирамиды.

Фигурой сечения является многоугольник 1234, натуральная величина которого определена способом плоскопараллельного перемещения.

Если многогранник пересекается плоскостью общего положения, то для определения линии пересечения необходимо воспользоваться известными способами преобразования ортогональных проекций.

Задача: Построить проекции и натуральную величину сечения прямой треугольной призмы, стоящей на плоскости Н, плоскостью общего положения, заданной линией ската s и горизонталью h (рис.5.7).

 

Рис. 5.7. Построение сечения призмы плоскостью общего

положения и определение натуральной величины сечения

Решение:

· Систему плоскостей проекций V ¤ H преобразуем так, чтобы плоскость общего положения преобразовалась в проецирующую. Для этого проводим новую ось Х₁ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали секущей плоскости. В новой системе H¤V₁ секущая плоскость становится фронтально-проецирующей (след Р_V1).

· Строим проекции призмы в системе H¤V₁.

· В системе H¤V₁ строим плоскость Р_V1, содержащую линию ската s и горизонталь h.

· Строим проекции сечения в системе V¤H. Горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией основания призмы (DА_НВ_НС_Н). Чтобы получить фронтальную проекцию сечения, необходимо использовать условия способа замены плоскостей проекций, т. е. B_V2_V= B_V12_V1; A_V1_V = A_V11_V1; C_V3_V = C_V13_V1.

· Натуральную величину сечения определяем способом плоскопараллельного перемещения.