Матрицы и определители

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде:

или сокращенно как А=(a_ij), где i= 1, 2, …, m; i =1, 2, …, n.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором или вектором-столбцом, вектором-строкой соответственно.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n, называется квадратной матрицей n-го порядка.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами i¹ j) равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали (обозначается Е).

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Примеры матриц: а) квадратная; б) диагональная; в) единичная; г) нулевая:

а) ; б) ; в) ; г) .

Каждой квадратной матрицей n -го порядка можно поставить в соответствие число Δ (detA), называемое ее определителем.

При n=1 А=(а ₁); Δ =detA= а ₁.

При n=2 ; Δ = a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₂.

При n=3 ;

Δ = = a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₂₁a₃₂a₁₃-a₁₃a₂₂a₃₁-a₂₁a₁₂a₃₃-

-a₃₂a₂₃a₁₁.

Для вычисления определителей второго и третьего порядков можно пользоваться следующими схемами:

при n=2;

при n=3.

Основные свойства определителей:

1. Значение определителя не изменяется, если заменить его строки столбцами и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя в качестве сомножителя.

5. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

 

Минором некоторого элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij. Обозначается минор как М_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор М_ij, умноженный на (-1) ^i+j, т.е. А_ij =(-1) ^i+jM_ij.

Определитель любого порядка можно представить как сумму произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие им алгебраические дополнения.

 

_________________

 

1.1.1. Вычислить определители:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 26; б) 7; в) 1.

1.1.2. При каких значениях а обращается в ноль определитель Δ = ?

Ответ: ±2

1.1.3. Вычислить определитель по правилу треугольников

а) .

Ответ: а) 47; б)0.

1.1.4. При каких значениях а обращается в ноль определитель

?

Ответ: (1; -2)

1.1.5. Вычислить определитель путем разложения по элементам 3-го столбца

.

Ответ: (-48).

1.1.6. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам второй строки

.

Ответ: (-15).

1.1.7. Вычислить определители

а)

Ответ: а) 0, б) 28.

1.1.8. Вычислить определители

Ответ: а) -38; б) 27; в) -1; г) 2 а; д) sin ²a- sin ²b.

1.1.9. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам какого-либо ряда и проверить по правилу треугольников

Ответ: а) 73; б) 23.

1.1.10. Упростить и вычислить определители:

Ответ: а) -156; б) 0.

1.1.11. Решить уравнение

.

Ответ: (2; 3).