Векторы. Линейные операции над векторами

 

Геометрическийвектор - это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка [АВ]. Векторы обозначают как , а их длины .

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым .

Произведением вектора на некоторое число α Î R называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженный на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α > 0, и противоположно ему, если α < 0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось ОХ называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси ОХ.

Если векторы и заданы своими координатами, т.е , то вектор k будет иметь координаты k ₁, k ₂, …, k _n, где k – действительное число; векторы + будут иметь координаты , , …, .

Пусть имеется трехмерная прямоугольная система координат, в которой задана точка М(x, y, z).

Радиусом – вектором точки М называется вектор , соединяющий начало координат с этой точкой.

Длина радиуса – вектора определяется как ;

Единичные векторы координат осей называются ортами. Радиус – вектор через орты выражается как = . Если вектор задан координатами точек начала А(x₁, y₁, z₁) и конца В(x₂, y₂, z₂), то ;

.

Углы α, β, γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом , причем cos²α +cos²β +cos²γ =1.

______________

 

2.1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . М – середина стороны ВС, N – середина АС. ОА =3, ОВ=4. Выразить через векторы .

Ответ:

2.1.2. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества

а) ; б) .

Ответ:

2.1.3. В треугольной пирамиде SABC, где S – вершина, даны векторы . Найти вектор , где М – центр тяжести основания АВС.

Ответ: .

2.1.4. Даны векторы . Вектор - медиана Δ ОАВ. Разложить аналитически и геометрически вектор по векторам .

Ответ:

2.1.5. В параллелограмм АВСД заданы вершина С(6; -8; 5) и векторы АС={-3; 1; 4}, ВД={2; -3; 5} – его диагонали. Определить координаты точки В.

Ответ: В(6, 5; -7; 0, 5).

2.1.6. Построить вектор = . Определить его длину и направление.

Ответ: | |=7.

2.1.7. В прямоугольной системе координат даны векторы и . Найти длину и направление вектора .

Ответ: .

2.1.8. Построить параллелограмм на векторах = и = . Определить его диагонали.

Ответ: = ; = .

____________

 

2.1.9. На плоскости даны точки А(3; 3); В(-3; 3); С(-3; 0); О(0; 0). Построить вектор = . Выразить векторы через единичные векторы координатных осей. Найти длину и направление вектора .

Ответ:

2.1.10. Определить координаты центра тяжести треугольника АВС, если А(5; 1; 12); В(11; 3; 8); С(2; 5; 0).

2.1.11. Построить точку М(5; -3; 4). Определить длину и направление ее радиус – вектора.

Ответ: .

2.1.12. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы, если .

2.1.13. Даны векторы ={3; -2; 1}, ={-2; 4; -3}. Найти длину и направление вектора .

Ответ: .

2.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1; -2; 3); В(3; 2; 1); С(6; 4; 4). Найти координаты его четвертой вершины.

Ответ: Д(4; 0; 6).