Операции над матрицами

 

Суммой матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинакового размера называется матрица С = (с_ij) того же размера, причем с_ij = a_ij + b_ij, " i, j.

Свойства операции сложения матриц

 

Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства:

1. А+В=В+А (коммутативность);

2. (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность).

Произведением матрицы А = (a_ij) на число l называется матрица В = (b_ij) того же размера, что и матрица А, причем b_ij =l a_ij, " i, j.

Свойства операции умножения матрицы на число

 

1. l(mА)=(l m) А (ассоциативность).

2. l(А+В)= l А +l В (дистрибутивность относительно сложения матриц).

3. (l+ m) А =l А+mА (дистрибутивность относительно сложения чисел).

Произведением АВ матриц А и В (размеров m ´ n и n ´ r соответственно) называется матрица С размера m ´ r, такая, что с_ij = a_{i 1} b _{1 j}+ a ₁₂ b _{2 j} +…+ a_ik b_kj +…+ a_in b_nj = .

Таким образом, каждый элемент с_ij, находящийся в i -й строке и j -м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы А и j -го столбца матрицы В.

Получение элемента с_ij схематично изображается так

j

Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

 

Свойства операции умножения матриц

 

1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность).

2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность).

3. А(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность).

4. АВ¹ ВА (отсутствует коммутативность).

Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ=ВА.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной (обозначается А ^Т).

_________________

 

1.3.1. Найти линейные комбинации заданных матриц:

а) А- l Е, ;

б) 4 А -5 В, .

1.3.2. Найти произведения матриц АВ и ВА (если они существуют):

а) ; б) А =(4 0 -2 3 1), ;

в) .

1.3.3. Проверить, коммутируют ли матрицы:

а) ;

б) .

1.3.4. Найти произведения матриц АА ^Т и А ^Т А:

а) б) А =(1 2 3 4); в) .

1.3.5. Найти линейные комбинации матриц:

а) 5 А -3 В +2 С, ;

б) А- l Е, .

1.3.6. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно):

а) ; б) .

1.3.7. Найти произведения АА ^Т и А ^Т А:

а) б) .

________________________

Ответы:

1.3.1. а) ; б) .

1.3.2. а) ;

б) АВ =(31); ;

в) АВ не существует, .

1.3.3. а) да; б) нет.

1.3.4. а) ;

б) АА ^Т=(30); ;

в) ; .

1.3.5. а) б) .

1.3.6. а) , ВА – не существует;

б) ; .

1.3.7. а) ;

б) .