С m неизвестными

 

Система m линейных уравнений с m неизвестными имеет вид:

.

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

,

называется главным определителем системы.

Если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

, где i=1, 2, …, m.

Определители Δ x_i получаются из главного определителя системы путем замещения элементов i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

. (1)

 

Другим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса или метод исключения, который состоит из двух этапов. На первом этапе путем линейных преобразований уравнений системы заданная система приводится к ступенчатому, в частности, треугольному виду; на втором этапе определяются значения неизвестных. В качестве примера решим систему (1) методом Гаусса.

Разделим все члены первого уравнения системы (1) на коэффициент а ₁₁=2. Получим систему

. (2)

Умножим все члены первого уравнения на 3 и вычтем их из второго уравнения, затем из третьего уравнения вычтем первое, само первое уравнение системы (2) оставим без изменения. Тогда будем иметь

. (3)

Разделим все члены второго уравнения на 0, 5:

. (4)

Умножим второе уравнение на -0, 5 и вычтем его из третьего, при этом первое и второе уравнения системы (4) оставим без изменения

. (5)

На этом завершен так называемый прямой ход метода Гаусса. Неизвестные находятся в обратной последовательности. Из последнего уравнения находим х ₃=3, из второго следует х ₂, из первого х ₁=0, 5-0, 5∙ 2+0, 5∙ 3=1.

Замечания. Следует иметь в виду, что если главный определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если Δ =0, но хотя бы один из определителей Δ х _i ≠ 0, то система не имеет решений. Если Δ =0 и все определители Δ х _i =0, то система имеет бесчисленное множество решений.

______________

 

1.2.1. Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) (0; 2); б) (5; 6; 10); в) (-1; 0; 1).

 

1.2.2. Решить систему уравнений двумя способами: по правилу Крамера и методом Гаусса.

.

Ответ: (2; -1; -3).

 

1.2.3. Решить системы уравнений методом Гаусса

а) ; б) ;

в) .

Ответ: а) решений нет; б) решений бесконечное множество;

в) (1; -1; 2; 3).

____________

 

1.2.4. Решить системы уравнений по правилу Крамера

а) ; б) .

Ответ: а) (5; -4); б) (2; -5; 3).

 

1.2.5. Решить систему уравнений двумя способами

.

Ответ: (2; 1; 3).

 

1.2.6. Решить систему методом Гаусса

.

Ответ: (3; -4; -1; 1).