Свойства скалярного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Скалярное произведение ортов:

.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе как , то .

Применение скалярного произведения

 

1. Длина вектора равна .

2. Угол между векторами определяется как .

3. Проекция вектора : .

4. Условие ортогональности двух векторов =0, .

5. Работа силы по перемещению материальной точки из А в В равна .

 

______________

 

2.2.1. Найти скалярное произведение векторов и .

Ответ: 4.

2.2.2. Найти угол между векторами и .

Ответ: 90°.

2.2.3. Найти алгебраическую проекцию вектора на вектор .

Ответ: Ö 3.

2.2.4. Даны векторы . Вектор . Найти: ; ; ; ; .

Ответ: 5; 4; .

2.2.5. Даны векторы: . При каких значениях n угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n < ; n = ; n > .

2.2.6. Вычислить работу силы ={3; 2; 4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7).

Ответ: А=6.

2.2.7. На материальную точку действуют силы ₁= , ₂= , ₃= . Найти работы равнодействующей этих сил и силы ₂ при перемещении точки из А(2; -1; 0) в В(4; 1; -1).

Ответ: 1; -6.

2.2.8. Определить длину вектора , если .

Ответ: 6Ö 3

2.2.9. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где .

Ответ: Ö 7; Ö 13.

2.2.10. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные π /3. Зная, что , найти .

Ответ: -7.

_____________

 

2.2.11. Даны векторы и . Найти , , .

Ответ: 13; .

2.2.12. Даны векторы = , = , = . Найти модуль скалярного произведения диагоналей четырехугольника АВСД.

Ответ:

2.2.13. Даны векторы Вектор . Найти: , .

Ответ:

2.2.14. Даны силы ₁= , ₂= . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку А(2; -1; -1).

Ответ: 2.

2.2.15. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы с углом между ними 120°.

Ответ: -1/2.